Erzeugung der Borelschen-sigma-Algebra.

Question

Aufgabe:

Wir wissen B₁ ist die eindimensionale Borelsche σ-Algebra. Diese haben wir als σ(J) definiert, wobei J := { I⊆ℝ | I Intervall}. Nun soll ich zeigen, dass auch B₁ = σ(J₁), wobei J₁ := { [a,b] | a,b ∈ ℝ, a ≤ b} ist. Also ich würde erst die Richtung "⊆" und dann "⊇". Aber komme nicht voran. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

Da \( J_1 \subset J \Rightarrow \sigma (J_1) ⊆ \sigma (J) \).

Bleibt nur noch die Umkehrung zu zeigen. Dafür reicht es aus zu zeigen, dass \(J ⊆ \sigma (J_1)\), denn dann gilt $$\sigma (J) ⊆ \sigma (\sigma (J_1)) = \sigma (J_1)$$

$$(a,b) = \bigcup_{n=1}^{\infty} [a+\frac 1n , b-\frac 1n] $$ $$[a,b) = \bigcup_{n=1}^{\infty} [a , b-\frac 1n]$$ und ähnlich für\((a,b]\).
Damit sind alle Intervalle in \(\sigma (J_1)\).