Treffen folgende Aussagen zu?

Question

Sei V ein Vektorraum über R endlicher Dimension n ≥ 2. Sei ∆ eine nichttriviale
Determinantenform von V , und seien s1, . . . , sn ∈ V verschieden.
(A) Wenn ∆(s1, . . . , sn) > 0, dann ist ∆(s2, . . . , sn, s1) < 0.
(B) Wenn ∆(s1, . . . , sn) ≠0, dann ist {s1, . . . , sn} linear unabhängig.
(C) Wenn {s1, . . . , sn} linear unabhängig ist, dann ist ∆(s1, . . . , sn)  ≠ 0.

Bei (A) werden die Spalten ja nur vertauscht, also ändert sich das Vorzeichen, also richtig.

Bei (B) denk ich mir, dass, wenn die det ungleich 0 ist, dann folgt die lineare Unabhängigkeit. Also richtig

Bei (C) ist es nur umgekehrt. Also ebenfalls richtig

Answer 1

werden die Spalten ja nur vertauscht, also ändert sich das Vorzeichen

Das gilt wenn du zwei benachbarte Spalten vertauschst.

Es gilt aber nicht für jede Vertauschung.

Bei (C) ist es nur umgekehrt.

Die Umkehrung der Behauptung aus (B) gilt aber nicht immer.

Sie gilt aber, wenn \(\Delta\) nichttrivial ist. Vielleicht solltest du deshalb das Wort "nur" streichen.

Comments

Also trifft (A) in diesem Fall nicht zu?

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Aussage (A) trifft nicht zu.