$$Sei \quad A \epsilon Gl(n,IR)\quad eine\quad symmetrische \quad Matrix. \quad Man\quad beweise: $$
a)$$\Lambda \quad ist \quad Eigenwert \quad von\quad A \quad dann\quad und \quad nur \quad dann,\quad wenn \quad { \lambda }^{ -1 } \quad ein \quad Eigenwert \quad von\quad {A }^{ -1 } ist. $$
b) v ist ein Eigenvektor von A dann und nur dann, wenn v ein Eigenvektor von $${A }^{ -1 }\quad ist.$$
Vom Duplikat:
Titel: λ ist ein Eigenwert von A dann und nur dann, wenn λ^{-1} ein Eigenwert von A^{-1} ist.
Stichworte: matrix,eigenwerte,inverse
Sei A ∈ Gl(n,R) eine symmetrische Matrix. Man beweise:
λ ist ein Eigenwert von A dann und nur dann, wenn λ-1 ein Eigenwert von A-1 ist.
λ ist ein Eigenwert von A (wegen A ∈ Gl(n,R) ist λ≠0)
<==> ∃ v∈ℝ^n v≠0 und
A*v = λ*v
<=> A^{-1} * A * v = A^{-1} * λ*v
<=> v = λ*A^{-1}*v ( λ≠0 s.o.)
<=> λ^{-1}*v = A^{-1}*v
d.h. λ^{-1} ist Eigenwert von A^{-1}.
Hallo Gast, in meinem Bild habe ich a und b gleichzeitig bewiesen.
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