Symmetrische Matrix, λ ist ein Eigenwert von A gdw λ^{-1} ein Eigenwert von A^{-1} ist.

Question

$$Sei \quad A \epsilon Gl(n,IR)\quad   eine\quad symmetrische \quad Matrix. \quad Man\quad beweise: $$

a)$$\Lambda \quad ist  \quad Eigenwert \quad von\quad A \quad dann\quad und \quad nur \quad dann,\quad wenn \quad { \lambda  }^{ -1 } \quad ein \quad Eigenwert \quad von\quad {A  }^{ -1 } ist. $$

b) v ist ein Eigenvektor von A dann und nur dann, wenn v ein Eigenvektor von $${A  }^{ -1 }\quad ist.$$ 

Comments

Vom Duplikat:

Titel: λ ist ein Eigenwert von A dann und nur dann, wenn λ^{-1} ein Eigenwert von A^{-1} ist.

Stichworte: matrix,eigenwerte,inverse

Sei A ∈ Gl(n,R) eine symmetrische Matrix. Man beweise:

λ ist ein Eigenwert von A dann und nur dann, wenn λ^-1 ein Eigenwert von A^-1 ist.

Answer 1

λ ist ein Eigenwert von A   (wegen A ∈ Gl(n,R) ist λ≠0)

<==>  ∃ v∈ℝ^n   v≠0  und

                   A*v = λ*v

        <=>  A^{-1} * A * v = A^{-1} * λ*v

        <=>    v = λ*A^{-1}*v    ( λ≠0 s.o.)

  <=>    λ^{-1}*v = A^{-1}*v

d.h.   λ^{-1} ist Eigenwert von A^{-1}.

Answer 2

Hallo Gast, in meinem Bild habe ich a und b gleichzeitig bewiesen.