Gewinnschwelle und -grenze für Werkzeugmaschinen: Kostenfunktion K(x) = 4000 x +32.000 ; D(K) = [0;10]

Question

Der Produzent einer Werkzeugmaschine ist Monopolist. Die gesamten Produktionskosten ergeben sich nach der Kostenfunktion K(x) = 4000 x +32.000 ; D(K) = [0;10]

Die Preispolitik erfolgt auf der Grundlage einer linearen Preis-Absatz-Funktion. Bei einem Angebot von x Stück kann ein Stück von p(x) erziehlt werden, wobei gilt p(x) = -4.000 x + 40.000 ; D(p) = [0;10]

a) Geben Sie den Funktionsterm der Erlösfunktion an und ermitteln Sie die Ausbringungsmenge für die der Erlös maximal wird. Geben Sie dann den maximalen Erfolg an!

b) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle (BEP I) und die Gewinngrenze (BEP II)!

c) Ermitteln Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den maximalen Gewinn.

Answer 1

a) Geben Sie den Funktionsterm der Erlösfunktion an und ermitteln Sie die Ausbringungsmenge für die der Erlös maximal wird. Geben Sie dann den maximalen Erfolg an!

E(x) = x * p(x) = -4000*x^2 + 40000*x

E'(x) = -8000*x + 40000 = 0
x = 5 Stück

E(5) = 100000

b) Bestimmen Sie die Gewinnschwelle (BEP I) und die Gewinngrenze (BEP II)!

G(x) = E(x) - K(x) = -4000*x^2 + 40000*x - (4000*x + 32000) = - 4000·x^2 + 36000·x - 32000

G(x) = 0
- 4000·x^2 + 36000·x - 32000 = 0
Gewinnschwelle x = 1 Stück 
Gewinngrenze x = 8 Stück

c) Ermitteln Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den maximalen Gewinn.

G'(x) = 0
36000 - 8000·x = 0
x = 4,5 Stück

G(4) = G(5) = 48000

Comments

Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wie man bei a) auf die Werte kommt.

Wäre froh über ausführlichere Schritte, nur Nr. a).

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Welche Zeile bei a) hast Du denn genau nicht verstanden? Weißt du das sich 

E(x) = x * p(x)

ausdrücken lässt. Hier brauchte ich ja nur noch einsetzen und und vereinfachen. Wenn ich jetzt davon ein Maximum suche muss ich die Ableitung bilden und die gleich Null setzen.

Und dann ist noch nach dem maximalen Erlös selbst gefragt.

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Ja, die erste Formel kenne ich.

Ab dem vereinfachen habe ich Probleme, und ab da dann alles von a).

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E(x) = x * p(x)

hier setzt du ja nur für p(x) den gegebenen Term ein

E(x) = x * (-4000*x + 40000)

Nun muss alles in der Klammer mit x multipliziert werden

E(x) = -4000*x^2 + 40000x = 40000x - 4000*x^2

Wir machen hiervon jetzt eine Ableitung

E'(x) = 40000 - 2*4000*x = 40000 - 8000*x

An der Stelle wo E(x) ein Maximum hat muss die Ableitung Null sein daher wird sie Null gesetzt. Das ganze löst man dann nach x auf.

E'(x) = 0
40000 - 8000*x = 0
 - 8000*x = - 40000
x = 5

Das ist jetzt allerdings nur die Menge bei der wir einen maximalen Erlös haben und noch nicht der maximale Erlös. Um den zu bekommen müssen wir die 5 in die Funktion selbst einsetzen.

E(5) = 40000*5 - 4000*5^2 = 100000

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Wieso muss man denn die Ableitung machen? Ich verstehe den Sinn von ihr nicht, und auch nicht, wie man sie macht.
Wo ist in der Ableitung das x von den 40.000 und das ^2, und wieso 2 * 4.000 ?

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Wenn ihr die Ableitung noch nicht gemacht habt dann kannst Du es auch über den Scheitelpunkt von

E(x) = 40000x - 4000*x²
E(x) = 4000x(10 - x)

ausrechnen. Das kommt hier auf das gleiche heraus.

Da die Nullstellen von E(x) bei 0 und 10 sind. Befindet sich der Scheitelpunkt direkt in der Mitte zwischen 0 und 10 also bei 5.

Jetzt können wir die 5 einsetzen.

E(x) = 4000x(10 - 5) = 100000

 

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Wir haben a) heute im Unterricht besprochen (ich hatte gerade mal die Erlösfunktion) und haben das mit den Nullstellen gerechnet. Allerdings haben wir dafür die Formel x₁+x₂ / 2 benutzt, um auf 5 zu kommen, ist ja aber das gleiche Prinzip.

Ich hätte jetzt aber noch eine Frage zu c). Da hast du wieder mit den 8.000 gerechnet, aber weil ich ja ohne die Ableitung gerechnet habe, weiß ich nicht, wie ich zu der Zahl komme.

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Du brauchst dann wieder die Nullstellen

G(x) = - 4000·x² + 36000·x - 32000 = 0 | :(-4000)

x² - 9·x + 8 = 0

x1 = 1

x2 = 8

Der Scheitelpunkt befindet sich dann bei (1+8)/2 = 4.5

Wenn jetzt x in Stück gerechnet wird und nicht teilbar ist muessen wir hier 4 oder 5 nehmen.

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Also brauch ich die 8.000 nicht, wenn ich wie vorher mit den Nullstellen rechne?!

Bist du mit der pq-Formel auf 1 und 8 gekommen?

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Die 8000 bekommt man ja über die Ableitung die ihr wohl noch nicht gemacht habt. dann brauchst du die nicht. ja. die pq formel liefert die nullstellen 1 und 8.

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Ist es denn falsch, wenn man bei b) E(x) = K(x) schreibt und es so ausrechnet? .. man bekommt dieselbe Lösung.

Dann wären meine Fragen soweit geklärt ;) .. wir schreiben am Freitag eine Matheklausur, deshalb wollt ich mir in jedem Schritt sicher sein ! :)

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E(x) = K(x) | -K(x)

E(x) - K(x) = 0

Nun ist aber E(x) - K(x) = G(x) also

G(x) = 0

letztendlich ist es also egal wie du rechnest. der 2. Schritt ist nur etwas eleganter, weil man noch mehr mit der Gewinnfunktion machen kann.

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Okee :) .. also viielen Dank für die Geduld und die ausführlichen Erklärungen :)