RIEMANN-integrierbare Funktionen mit unendlich vielen “Sprüngen”

Question

$$\text{Wir definieren die Funktion: } h:[0,1]\rightarrow\mathbb R, t\rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}   1 ,& \text{falls } t\in[\frac{1}{3^k},\frac{2}{3^k}[\text{ für ein k $\in$ $\mathbb N$}  \\   0 ,& \text{falls } t\in[\frac{2}{3^k},\frac{3}{3^k}[\text{ für ein k $\in$ $\mathbb N$}  \\   0 ,& \text{falls } t=0 \end{array}\right. \\ \text{Zeigen Sie, dass $h$ RIEMANN-integrierbar ist.}$$

Comments

Hallo
offensichtlich steht da für ein k aus N also z.B k=2 oder k=10
dann ist die Funktion nicht zwischen (0,1/3^k) definiert?
im Definitionsgebiet ist nur 1 Sprung bei 2/3^k
oder ist da noch was anders definiert?
lul

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@lul

\(\text{falls } t\in[\frac{1}{3^k},\frac{2}{3^k}[\text{ für ein k $\in$ $\mathbb N$}\)

Gemeint ist "falls ein \(k\in \mathbb{N}\) existiert, so dass \(t\in\left[\frac{1}{3^k},\frac{2}{3^k}\right[\) ist".

Damit ist zum Beispiel \(h\left(\frac{1}{80}\right) = 1\), weil ein \(k\in \mathbb{N}\) existiert, so dass \(\frac{1}{80}\in\left[\frac{1}{3^k},\frac{2}{3^k}\right[\) ist (nämlich \(k = 4\)).

Anders sähe das aus, wenn wir für ein \(k\in\mathbb N\) die Funktion

        \(h:[0,1]\to\mathbb{R}, t\mapsto \begin{cases}    1 & \text{falls } t\in[\frac{1}{3^k},\frac{2}{3^k}[  \\    0 & \text{falls } t\in[\frac{2}{3^k},\frac{3}{3^k}[  \\    0 ,& \text{falls } t=0 \end{cases}\)

"definieren". Die wäre nicht wohldefiniert, weil für \(k = 1\) kein Bild von \(\frac{1}{6}\) existiert und für \(k>1\) kein Bild von \(\frac{1}{2}\) existiert.

Answer 1

Die Funktion \(h\) ist auf jedem Intervall \([a,1]\) mit \(0 < a < 1\) Riemann-integrierbar, weil sie aus endlich vielen stückweise konstanten Funktionen zusammengesetzt ist.

Für \(a\to 0\) konvergieren die Obersummen aus dem Intervall [0,a] gegen \(1\cdot a = 0\) und die ensprechenden Untersummen gegen \(0\cdot a = 0\).