Handelt es sich hierbei um ein Gruppenhomorphismus?

Question

Aufgabe:

k : (S6, ◦) → (Z6, +)
π → [π(6)]

Handelt es sich hierbei um ein Gruppenhomorphismus?

Answer 1

S6 ist die symmetrische Gruppe S6 also

Permutationen von 6 Elementen.

Und π(6) ist dann ja wohl das Bild von der 6

bei der Permutation π.

Wähle nun zwei Permutationen π und σ, bei denen gilt

π(6) = 3    und π(1) = 2  und   σ(6) = 1

(solche gibt es sicher.)

Dann ist k( π o σ ) =  [(π o σ )(6)] =  [π (σ(6) ] =  [π (1) ]= [2]

Aber k( π) + k( σ)  =  [π(6)] + [σ(6)] = [3]+[1]=[4]

Also sind die Ergebnisse nicht gleich. ==> kein Hom.

Answer 2

Da \(k\) surjektiv ist, wäre im Falle eines Homomorphismus

\(S_6/\ker (k)\cong (Z_6,+)\).

\(S_6\) hätte also einen nichttrivialen Normalteiler

vom Index 6. Der einzige nichttriviale Normalteller ist aber

bekanntermaßen \(A_6\) mit dem Index 2.