Aufgabe:
Die Funktion f(x,y)=ln(xy) hat unter der Nebenbedingung 4x+2y=200 ein Maximum an der Stelle (x∗,y∗). Bestimmen Sie diese Stelle (x∗,y∗).
Verwende das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren.
4·x + 2·y = 200 --> y = 100 - 2·x
f(x, y) = LN(x·y)
Nebenbedingung in die Funktion einsetzen
f(x) = LN(x·(100 - 2·x)) = LN(100·x - 2·x^2)
Funktion ableiten und gleich Null setzen
f'(x) = 100 - 4·x = 0 → x = 25
Nun auch noch y berechnen
y = 100 - 2·25 = 50
Aloha :)
Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden FUnktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Hier gibt es nur eine Nebenbedingung, sodass:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}g(x;y)\implies\frac{1}{xy}\binom{y}{x}=\lambda\binom{4}{2}\implies\frac{y}{x}=\frac{4}{2}\implies \pink{y=2x}$$Das in die Nebenbedingung eingesetzt, liefert:$$200=4x+2\pink{y}=4x+2\cdot\pink{2x}=8x\quad\implies\quad x=25\;;\;y=50$$
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