Bestimmen Sie diese Stelle (x∗,y∗)

Question

Aufgabe:

Die Funktion f(x,y)=ln(xy)
hat unter der Nebenbedingung 4x+2y=200
ein Maximum an der Stelle (x∗,y∗)
. Bestimmen Sie diese Stelle (x∗,y∗)
.

Answer 1

Verwende das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren.

Answer 2

4·x + 2·y = 200 --> y = 100 - 2·x

f(x, y) = LN(x·y)

Nebenbedingung in die Funktion einsetzen

f(x) = LN(x·(100 - 2·x)) = LN(100·x - 2·x^2)

Funktion ableiten und gleich Null setzen

f'(x) = 100 - 4·x = 0 → x = 25

Nun auch noch y berechnen

y = 100 - 2·25 = 50

Answer 3

Aloha :)

Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden FUnktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Hier gibt es nur eine Nebenbedingung, sodass:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\,\operatorname{grad}g(x;y)\implies\frac{1}{xy}\binom{y}{x}=\lambda\binom{4}{2}\implies\frac{y}{x}=\frac{4}{2}\implies \pink{y=2x}$$Das in die Nebenbedingung eingesetzt, liefert:$$200=4x+2\pink{y}=4x+2\cdot\pink{2x}=8x\quad\implies\quad x=25\;;\;y=50$$