Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die auf R2 definierten Differentiale
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
Aufgabe 2. (12 Punkte) Für Hörer der Ergänzungsvorlesung: Biophysik, MIW, MML
a) Zeigen Sie, dass die auf \( \mathbb{R}^{2} \) definierten Differentiale
i) \( \left(y^{2}-3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+(2 x y+2 y) \mathrm{d} y \),
ii) \( \left(x^{3} y \sin (x y)-3 x^{2} \cos (x y)+x+y+1\right) \mathrm{d} x+\left(x^{4} \sin (x y)+x+y+1\right) \mathrm{d} y \) auf \( \mathbb{R}^{2} \) die Integrabilitätsbedingung von Satz 4.32 erfüllen.
b) \( \mathrm{Da} \mathbb{R}^{2} \) einfach zusammenhängend ist, sind die angegebenen Differentiale nach Satz4.32 jeweils das vollständige Differential einer auf \( \mathbb{R}^{2} \) definierten Funktion \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \), d. h. die Differentiale aus a) haben jeweils die Gestalt
\( \varphi_{x}(x, y) \mathrm{d} x+\varphi_{y}(x, y) \mathrm{d} y . \)
Bestimmen Sie jeweils ein solches \( \varphi \).
c) Berechnen Sie jeweils das Kurvenintegral 2. Art des Differentials
- aus a), i) einmal über \( \gamma_{1} \) und dann über die gesamte Kurve \( \gamma \) aus Aufgabe 4 von Blatt 10 ,
- aus a), ii) über die Kurve \( \gamma:[0, \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \), gegeben durch \( \gamma(t)=(t \cos t, t \sin t) \), \( t \in[0, \pi] \).
