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Aufgabe:

in unserem Skript steht dieser Hinweis:

 \(f(x):=x_{1} \cdot x_{2} \cdot \frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, \quad x \neq 0\)
\(\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}}(0) \neq \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}}(0)\)

welcher besagt, dass die Reihenfolge der Ableitung wichtig ist.


Problem/Ansatz:

Wenn ich die Ableitungen in der entsprechenden Reihenfolge berechne, dann kommt bei mir das Gleiche raus.

Hier die ausgetippte Formel für wolframalpha damit ihrs einfacher habt: ∂/∂x(∂/∂y(x^2-y^2)/(x^2+y^2)*xy)


Versehe ich die Aussage falsch?

Wir haben gerade eine ähnliche Aufgabe:

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \cdot \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)

Hier wird wie oben nach der Ungleichheit von \(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0) \neq \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(0,0)\) gefragt. Die kann ich ja nicht zeigen, wenn die beiden Ableitungen gleich sind. Inwieweit spielt hier die Definition von 0 falls x=0 eine Rolle? Das ändert sich doch erst nicht mit den Ableitungen, denn 0'=0

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Wenn du \(x_{1} \cdot x_{2} \cdot \frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\) nach \(x_1\) ableitest und das Ergebnis dann nach \(x_2\) ableitest, dann bekommst du das gleiche wie wenn du zuerst nach \(x_2\) und das Ergebnis dann nach \(x_1\) ableitest.

Aber damit berechnest du nicht du zweiten partiellen Ableitungen von \(f\) an der Stelle \((0,0)\). Das liegt daran, dass

        \(f(x) = x_{1} \cdot x_{2} \cdot \frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\)

für \(x =(0,0)\) überhaupt nicht gilt. Übrigens ist auch

        \(\frac{-x_1^6 -9x_1^4x_2^2 + 9x_1^2x_2^4 + x_2^6}{(x_1^2+x_2^2)^3}\)

für \(x =(0,0)\) nicht definiert.

Bestimme die zweiten partiellen Ableitungen bei \((0,0)\) stattdessen mittels des Differenzenquotienten.

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Kann ich dann die erste Ableitung ganz normal ableiten und erst danach den Differenzenquotienten verwenden?

d.h.
\(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{4x^{2}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{x^{2}y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\)

einsetzen in:

\(\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{{h}}\)

Wieso soll ich den Differenzenquotient dann auf einmal bei (0,0) auswerten können, wenn das vorher nicht der Fall war?

Ich glaub ich habs verstanden.

\(\frac{\partial f}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x}f(0,0))=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(0,h) - f(0)}}{{h}} =\lim_{h \to 0}\frac{x^4h+4x^2h^2-h^4}{x^4h+2x^2h^3+h^5}=\infty\)

\(\frac{\partial f}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y}f(0,0))=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(h,0) - f(0)}}{{h}}=\lim_{h\to0}\frac{h^5}{h^5}=1\)

Stimmt das so?

Danke für deinen Tipp vorhin :)

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