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Aufgabe:


(a) Sei f : R → R stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass für jede Lösung der Differentialgleichung
x˙ = f(x)


genau eine der folgenden Aussagen zutrifft:
(i) x ist streng monoton wachsend.
(ii) x ist streng monoton fallend.
(iii) x ist konstant.
(b) Bleibt die Aussage in (a) richtig, wenn f : R → R nur als stetig vorausgesetzt wird?


Problem/Ansatz:

Ich habe mir als Beispiel e^x angeschaut, da das die Bedingungen erfüllt und würde dadurch auf den Schluss kommen, dass i) richtig ist, ich wüsste jetzt aber echt nicht, wie ich das beweisen kann.

Mein Ansatz war: \( \frac{dx}{dy} \)=f(x) => dy=dx*f(x) aber das passt meiner meinung nicht und ich wüsste auch nicht wie man da dann auf den gewünschten schluss kommen würde.

Avatar von
Ich habe mir als Beispiel \(e^x\) angeschaut

Meinst du damit \(f(x)=e^x\) ?
Es geht ja um Lösungen \(x=x(t)\).

Ich glaube ich habe eine Denkfehler gemacht, ich hatte y' =y im kopf weil y'=e^x und y=e^x

1 Antwort

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ES sei \(I \sub \R\) ein Intervall und \(x:I \to \R\) eine Lösung der Differentialgleichung \(x'=f(x)\). Wenn im Inneren von I ein s existiert mit \(f(x(s))=0\); dann ist \(x(t)=const=x(s)\) für alle \(t \in I\). Denn die Lösung ist ja wegen der stetigen Differenzierbarkeit überall - lokal - eindeutig. Andernfalls ist eben \(x'(t)=f(x(t))\) entweder überall im Inneren von I positiv oder überall negativ.

Avatar von 14 k

Wäre dann x'=\( \sqrt{x} \) für b) ein passendes Beispiel? Da bin ich mir jetzt nämlich nicht sicher, ist ja weder Konstant noch Monoton

Diese Frage wurde Dir doch in dem anderen Forum schon komplett beantwortet?

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