Aufgabe:
(a) Sei f : R → R stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass für jede Lösung der Differentialgleichung
x˙ = f(x)
genau eine der folgenden Aussagen zutrifft:
(i) x ist streng monoton wachsend.
(ii) x ist streng monoton fallend.
(iii) x ist konstant.
(b) Bleibt die Aussage in (a) richtig, wenn f : R → R nur als stetig vorausgesetzt wird?
Problem/Ansatz:
Ich habe mir als Beispiel ex angeschaut, da das die Bedingungen erfüllt und würde dadurch auf den Schluss kommen, dass i) richtig ist, ich wüsste jetzt aber echt nicht, wie ich das beweisen kann.
Mein Ansatz war: \( \frac{dx}{dy} \)=f(x) => dy=dx*f(x) aber das passt meiner meinung nicht und ich wüsste auch nicht wie man da dann auf den gewünschten schluss kommen würde.