Lösungen einer Differentialgleichung in implizierter Form

Question

Aufgabe:

Sei a₀ ∈ ℝ. Man bestimme sämtliche Lösungen der folgenden Differentialgleichung:
2x·(a) x''(a) − x'(a)² − 1 = 0, a ∈ R

mit x(a₀) = x₀ ≠ 0.

Beachte hier, dass diese Differentialgleichung in einer impliziten Form gegeben ist.

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf

Comments

Prüfe mal, ob Du die Dgl richtig abgeschrieben hast (nicht nur den \(\cdot\) zwischen x und (a)). Im Text ist ja auf jeden Fall ein Fehler, denn "impliziert" ist hier gar nichts.

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Es heißt nicht "implizierte Form", sondern "implizite Form".

Answer 1

Hallo,

Man bestimme sämtliche Lösungen der folgenden Differentialgleichung:

Comments

Das "usw." würde mich hier interessieren. Ich sehe da keine Dgl mit getrennten Variablen.

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Mein Einwand bleibt bestehen.

Answer 2

Hallo,

Ansatz mit einer Potenzreihe: $$x(a)= k_0 + k_1a + k_2a^2 {\color{grey} + \sum\limits_{i=3}^{n}k_ia^{i}}\\ x'(a)=k_1+2k_2a \\ x''(a)= 2k_2$$Einsetzen in die DGL gibt$$\begin{aligned}2x(a)x''(a) - x'(a)^2 - 1&=0 \\ 2\left(k_0 + k_1a + k_2a^2\right)\cdot 2k_2 - \left(k_1+2k_2a\right)^2 - 1 &= 0 \\ (4k_2^2 -4k_2^2)a^2 + (4k_1k_2 - 4k_1k_2)a + 4k_0k_2 - k_1^2 - 1&= 0 \\ \implies k_2 &= \frac{k_1^2+1}{4k_0} \end{aligned}$$Der Koeffizientenvergleich führt dann zum Wert von \(k_2\). \(k_0\) und \(k_1\) sind frei wählbar, mit der Einschränkung \(k_0 \ne 0\). Die Lösung ist demnach$$x(a)= k_0 + k_1a + \frac{k_1^2+1}{4k_0}a^2 \quad\quad k_0 \ne 0 \implies x(0) \ne 0 $$Bem.: Koeffizienten von Potenzen mit \(3\) und höher werden alle zu \(0\), prüfe es selber mal nach...

Gruß Werner