Aufgabe:
Es seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) unabhängige, Bernoulli \( (\theta) \)-verteilte Beobacht ungen mit Parameter \( \theta>0 \), \( n \in \mathbb{N} \). Als Schätzer für \( \theta \) betrachten wir
\( \begin{aligned} M_{n} & =\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i}, \\ S_{n} & =\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} X_{i}+1}{n+2}, \\ T_{n} & =\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} X_{i}+a_{n}}{n+b_{n}} \quad\left(a_{n}, b_{n} \in \mathbb{R}, b_{n} \neq-n\right) . \end{aligned} \)
(a) Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler von \( M_{n} \)
(b) Zeigen Sie, dass der mittlere quadratische Fehler von \( S_{n} \) für \( \theta=\frac{1}{2} \) geringer ist als der von \( M_{n} \).
(c) Bestimmen Sie \( a_{n}, b_{n} \in \mathbb{R} \), sodass der mittlere quadratische Fehler von \( T_{n} \) nicht von \( \theta \) abhängt.
Problem/Ansatz:
