Aloha :)
Der Entwicklungspunkt der Potenzreihe$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n}{n^3}\,x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-2)^n}{n^3}\,(x-\pink{0})^n$$ist tatsächlich \(\pink{x_0=0}\).
Der Konvergenzradius beträgt:$$\pink r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-2)^n}{n^3}}{\frac{(-2)^{n+1}}{(n+1)^3}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-2)^n}{n^3}\cdot\frac{(n+1)^3}{(-2)^{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-2)^n}{(-2)^{n+1}}\cdot\frac{(n+1)^3}{n^3}\right|$$$$\phantom r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{1}{(-2)}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^3\right|=\left|\frac{1}{(-2)}\cdot(1+0)^3\right|\pink{=\frac12}$$
