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Aufgabe Stochastik:

a) Seien \( p \) und \( q \) zwei verschiedene Primzahlen and \( a, b \) zwei ganze Zahlen mit \( 0 \leq a<p \) und \( 0 \leq b<q . \) Ein Zufallsgenerator erzugt eine Zahl \( n \) aus dem Bereich \( \{0,1,2, \ldots, p \cdot q-1\} \) gleichverteilt. Sei \( A \) das Ereignis, dass \( n=a \bmod p \) ist, und \( B \) das Ereignis, dass \( n \equiv b \) mod \( q \) ist. Untersuchen Sie, ob \( A \) und \( B \) unabhängig sind oder nicht.

b) Ein Zufallsgenerator erzeugt eine Zahl \( n \) aus dem Bereich \( \{1,2, \ldots, 100\} \) gleichverteilt. Sei \( A \) das Ereignis, dass \( n \equiv 1 \) mod 9 ist, und \( B \) das Ereignis, dass \( n \equiv 1 \) mod 11 ist. Untersuchen Sie, ob \( A \) und \( B \) unabhïngig sind oder nicht.

Zusatzaufgaben

Ein Zufallsgenerator erzeugt eine Folge von Zahlen \( n_{1}, n_{2}, \ldots \) aus dem Bereich \( \{0,1,2, \ldots, 99\} \) unabhängig und gleichverteilt.

c) Wie groß ist die erwartete Anzahl \( k \) bis zum ersten Mal eine \( Z \) ahl \( n_{k} \) mit \( n_{k} \equiv 3 \) mod 20 erzeugt wird? Wie oft tritt das Ereignis \( n_{k} \equiv 3 \) mod \( 20 \mathrm{im} \) Erwartungswert auf, wenn insgesamt 120 Zahlen erzeugt wurden?

d) Wie groß ist die erwartete Anzahl \( k \) bis zum ersten Mal eine Zahl \( n_{k} \) mit \( n_{k} \equiv 3 \) mod 40 erzeugt wird? Wie oft tritt das Ereignis \( n_{k} \equiv 3 \bmod 40 \mathrm{im} \) Erwartungswert auf, wenn insgesamt 120 Zahlen erzeugt wurden?

Kann mir Jemand die Lösungsschritte erklären? Ich habe nicht verstanden wieso der chinesische Restsatz angewendet worden ist und warum die Ereignisse zum Betrag genommen sind und warum 1/p und 1/q für die jeweiligen Ereigisse genommen sind


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Ist M eine Menge so bezeichnet |M| die Kardinalität/Mächtigkeit der Menge. Das ist kein Betrag.
Ich habe obiges ja auch absichtlich als Kommentar und nicht als Antwort. Ich sehe hier auch keine Lösungsschritte, daher sehe ich mich nicht in der Lage diese zu erklären.
Wenn Du dir das schlecht vorstellen kannst dann nimm doch zunächst mal irgendwelche Werte und veranschauliche dir das mit diesen Werten direkt. Und wenn du es dir dann mit Werten vorstellen kannst gehst du dazu über das mit den Mengen zu verstehen.

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