Aufgabe:
Text erkannt:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f_{n}(x) \)
Problem/Ansatz:
Welcher Limes wird zuerst betrachtet oder ist das egal?
So wie es das steht, wird zunächst der Grenzübergang bezüglich x ausgeführt und danach über n.
Egal ist das im Allgemeinen nicht.
Und wenn diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert? Gibt es dann nicht einen Satz über das vertauschen? :)
Wenn Funktionen \(f, f_n:D \to \R\) gegeben sind, so dass für ein \(y \in D\) der Grenzwert
$$A:=\lim_{n \to \infty}\lim_{x \to y}f_n(x)$$
existiert und die Folge \((f_n)\) gleichmäßig gegen f konvergiert, dann gilt auch
$$\lim_{x \to y}\lim_{n \to \infty}f_n(x)=A$$
Hättest du vlt. ein konkretes Beispiel, Mathhilf?
Wieder verdammt abstrakt in dieser Form.
Nimm doch einfach irgendeine Funktionenfolge, vielleicht
$$f_n(x):=\frac{1}{1+nx^2}$$
und betracht Grenzwerte in verschiedener Reihenfolge.....
OK, danke. Gutes Beispiel.
Ein anderes Problem?
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