Welcher Limes wird zuerst betrachtet oder ist das egal?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f_{n}(x) \)

Problem/Ansatz:

Welcher Limes wird zuerst betrachtet oder ist das egal?

Answer 1

So wie es das steht, wird zunächst der Grenzübergang bezüglich x ausgeführt und danach über n.

Egal ist das im Allgemeinen nicht.

Comments

Und wenn diese Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert? Gibt es dann nicht einen Satz über das vertauschen? :)

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Wenn Funktionen \(f, f_n:D \to \R\) gegeben sind, so dass für ein \(y \in D\) der Grenzwert

$$A:=\lim_{n \to \infty}\lim_{x \to y}f_n(x)$$

existiert und die Folge \((f_n)\) gleichmäßig gegen f konvergiert, dann gilt auch

$$\lim_{x \to y}\lim_{n \to \infty}f_n(x)=A$$

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Hättest du vlt. ein konkretes Beispiel, Mathhilf?

Wieder verdammt abstrakt in dieser Form.

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Nimm doch einfach irgendeine Funktionenfolge, vielleicht

$$f_n(x):=\frac{1}{1+nx^2}$$

und betracht Grenzwerte in verschiedener Reihenfolge.....

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OK, danke. Gutes Beispiel.