Finde den Fehler // Funktionen

Question

a). Finden Sie den Fehler in der folgenden "Aufgabenlösung". Lösen Sie danach die Aufgabe korrekt.

Aufgabe: Mann bestimme alle \( x \in \mathbb{R} \), die sowohl \( 1+x^{2}=0 \) als auch \( 1+x^{3}=0 \) erfüllen.
Lösungsversuch: Es gilt

1+x² =0 und 1+x³ =0   =>

1 +x² = 1+x³                =>

x² = x³                          =>

x=0 oder x=1

also erfüllen 0 und 1 gleichzeitig \( 1+x^{2}=0 \) und \( 1+x^{3}=0 \).

Problem: Ich verstehe zwar, dass 1+x²  =0 keine Lösung hat, aber wie lautet jetzt der Rechenweg dazu? Einfach eine Zahl einsetzen und zeigen, dass es nicht stimmt?

Comments

(Der Lösungsversuch oben gehört zur Aufgabenstellung dazu) Es sieht so aus, als wäre es schon mein Lösungsansatz, ist es aber nicht.

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Ich würde schreiben:

Da x² = -1 in R keine Lösung hat, gibt es keine Lösung der Aufgabe (leere Menge).

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Ich würde schreiben :
Wie die Rechnung zeigt, sind die einzigen möglichen Kandidaten, die beide Gleichungen erfüllen, die Zahlen x₁=0, x₂=1. Beide Kandidaten lösen aber die zweite Gleichung nicht (es ist 1+0^3≠0 und auch 1+1^3≠0). Also gibt es kein x der gesuchten Art.

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Beide Kandidaten lösen aber die zweite Gleichung nicht

Beide Kandidaten lösen aber beide Gleichungen nicht.

Es sind überhaupt keine Kandidaten.

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Natürlich sind es Kandidaten.

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Beide Kandidaten lösen aber beide Gleichungen nicht.
Es genügt doch auch völlig, wenn eine der Gleichungen nicht erfüllt ist.

Die Aufgabe heißt doch Finden Sie den Fehler in der folgenden "Aufgabenlösung". Und der Fehler liegt einzig und allein in der letzten Zeile ! Bis dahin ist alles völlig richtig.

Ein Analogiebeispiel :
Man löse die Wurzelgleichung :
√(2x+3) - √(4x-8) = 5  ⇒ 2x+3 - 2·√(2x+3)·√(4x-8) + 4x-8  =  25  ⇒  6x-30  =  2·√(2x+3)·√(4x-8)
⇒  (3x-15)^2  =  (2x+3)·(4x-8)  ⇒  9x^2 - 90x + 225  =  8x^2 - 4x - 24  ⇒  x^2 - 86x + 249  =  0
⇒  x₁=3 , x₂=83
Bis hierher ist alles richtig, 3 und 83 sind die einzigen Kandidaten für eine Lösung der Gleichung.

Der Fehler passiert, wenn nun (wie in der Musterlösung aus der Aufgabe) gesagt wird, dass diese auch tatsächlich Lösungen seien, denn eine Probe zeigt, dass keine der beiden Zahlen die Wurzelgleichung erfüllt.

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Ja gut. Ich habe jetzt einigermaßen verstanden, dass viele Wege zum Ziel führen.

Die Hauptsache ist jedoch, dass ich weiß, wie ich das ganze jetzt aufschreibe.

Ich danke euch allen vielmals für eure Hilfe!

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ich weiß, wie ich das ganze jetzt aufschreibe

Hauptsache ist, dass du nicht behauptest, die Gleichung "1+x^2=0" hinzuschreiben sei ein Fehler.

Answer 1

Ist das jetzt Dein "Lösungsversuch" oder die erwähnte "Aufgabenlösung"?

Zum "Lösungsversuch": Betrachte die Richtung der Folgerungspfeile und überlege damit, ob dieser Versuch korrekt ist oder nicht.

Und schau danach (nicht vorher) die erste Gleichung mal genauer an, auch Umstellen ist erlaubt.

Comments

Ich hab schon verstanden, dass die erste Gleichung keine Lösung hat. Wie zeige ich es jetzt?

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Siehe Tipp oben. Was weißt Du über Quadratzahlen?
Eine Zahl einsetzen reicht nicht, sonst könnte man ja auch sagen "x+1=2" hat keine Lösung, denn wenn ich x=0 einsetze, stimmt's ja nicht.

Aussagenlogik beachten.

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Mein Vorschlag: Beide Gleichungen nach x umstellen und dann Wurzel ziehen.

ײ= -1  =-> \( \sqrt{-1} \)  >geht nicht

x³= -1 => dasselbe

Wäre das als Lösung ausreichend?

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\(\sqrt{-1}\) gibt es in der Mathematik nicht (lass Dich nicht davon irritieren, dass manche Helfer das verwenden). Argumentiere anders (Tipp oben).

Und wieso zweite Gleichung? Auch der Tipp oben, "Aussagenlogik", hilft: Du sollst etwas finden, dass beide Gleichungen erfüllt (bzw. zeigen, dass es nichts gibt, was beide erfüllt).

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Die Folgerungspfeile indizieren eine Implikation. Also aus A folgt B.

Der Lösungsversuch ist Teil der Aufgabe. Ich soll nun den Fehler finden und die obige Rechnung korrigieren.

Mein Lösungsversuch wäre zu zeigen, dass man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann und es somit für die erste Gleichung keine Lösung gibt.

Demnach kann man die 2 Gleichungen auch nicht gleichsetzen.

Vom Verständnis her ist ja alles klar. Man müsste die Gleichungen vor dem Gleichsetzen umstellen und erhält den Fehler, aber wie schreibe ich es richtig auf???

Mir fehlt gerade nicht das Verständnis, sondern das Know-how.....

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Die erste Gleichung ist nicht lösbar, weil Quadrate stets \(\ge 0\) sind (mein Hinweis) und damit \(1+x^2\ge 1 >0\).

Du suchst nun ein \(x\), dass die erste Gleichung erfüllt und die zweite. Zur ersten s.o. Welche Rolle spielt dann die zweite Gleichung?

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Achso, die zweite Gleichung braucht man also gar nicht, denn das x muss laut Aufgabenstellung beide erfüllen.

Ich habe es jetzt so gelöst, keine ahnung ob die Lösung daraus ersichtlich wird.

Text erkannt:

Fehler: weglassen der null bei \( 1+x^{2}=0 \) und \( 1+x^{3}=0 \)
korrekte lösung: \( 1+x^{2}=0 \) und \( 1+x^{3}=0 \Rightarrow \)
\( \begin{aligned} 1+x^{2} & =1+x^{3} \wedge 1+x^{2}=0 \quad \mid-1 \\ x^{2} & =x^{3} \wedge_{\substack{L_{1} \\ \geq 0}}=\underbrace{-1}_{<0} \quad \text { v } \end{aligned} \)
\( \Rightarrow \) Die Gleichung \( 1+x^{2}=0 \) hat keine Lösung

Ist es so in Ordnung, die erste Gleichung nochmal einzufügen um zu zeigen, dass das Gleichsetzen beider nicht stimmen kann?

Denn wenn das Gleichsetzen möglich wäre, dann könnte man diese Gleichung beliebig oft ans Ergebnis anhängen und es würde immer noch gelten.

Hier im Beispiel gilt dies nicht und somit gibt es für x keine Lösung.

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Zu b) Ja, die zweite Gleichung spielt eben keine Rolle (Aussagenlogik war der Tipp: Es geht um eine "und"-Aussage, bei der eine der beiden Teile falsch ist.)

Deine Lösung ignoriert und widerspricht den Überlegungen, die wir hier zuletzt gemeinsam erarbeitet haben. War das alles umsonst?

Zu a) Deine Lösung ist nicht richtig. Siehe ganz oben den Tipp dazu.

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Also die Lösung ist falsch?

Ich habe hier doch auch gezeigt, dass x²  nicht 0 sein kann.

Oder meinst du die Lösung ganz oben in meiner Frage?

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Ich meine Deine eben gepostete handschriftliche "korrekte Lösung". Wir hatten vorher besprochen wie man da argumentieren muss, teilweise hab ich's Dir hingeschrieben. Nichts davon findet sich hier wieder.

Answer 2

Das ist völliger Unsinn. Es gibt KEINE reelle Zahl x, für die 1+x²=0 ist

Comments

Verstehe, wie soll ich das aufschreiben, sodass es mathematisch-wissenschaftlich korrekt ist?

Answer 3

Aloha ;)

Es gibt kein \(x\in\mathbb R\) mit \(\,x^2+1=0\,\), denn es gilt:$$x\in\mathbb R\implies x^2\ge0\stackrel{(+1)}{\implies} x^2+1\ge1$$

Comments

Das ist nicht der entscheidende Fehler.
Die Lösungen  x=0 oder x=1 würden sich auch ergeben, wenn die Aufgabe "Mann (!) bestimme alle \( x \in \mathbb{R} \), die sowohl \( 1+x^{2}=8 \) als auch \( 1+x^{3}=8 \) erfüllen" lauten würde. Lies ns zweiten Satz.

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Also könnte ich die vollständige Induktion verwenden um es zu beweisen?

Answer 4

In der Zeile

\( 1+x^2 = 1+x^3 \)

sagst Du, dass die Terme, gleich sein sollen, ignorierst aber, dass sie nicht nur gleich, sondern insbesondere auch beide 0 sein sollen. Korrekt ist also:

\( 1+x^2 = 1+x^3 = 0 \)

0 und 1 erfüllen also nicht die Gleichungen \( 1+x^2=0 \) und \( 1+x^3=0 \), sondern nur die Gleichung

\( 1+x^2 = 1+x^3 \).

Für die (richtige) Lösung hast Du 1 Variable in 2 Gleichungen, das kann man (evtl.) lösen.