Fourier-Transformierte ohne i beschreiben

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ermitteln Sie für die Zeitfunktion \( f_{2} \) mit
\( f_{2}(t)=r_{1}(t) \cos \left(\frac{\pi}{2} t\right) \)
die Fourier-Transformierte \( \mathcal{F}\left[f_{2}\right](\omega) \) für alle \( \omega \in \mathbb{R} \) mit \( |\omega| \neq \frac{\pi}{2} \). Der Term dieser FourierTransformierten ist ohne die imaginäre Einheit i auszudrücken.

Bemerkungen: Mit \( r_{1} \) ist die Rechteckfunktion \( r_{T} \) mit \( T=1 \) gemeint. Der Ausschluss \( |\omega| \neq \frac{\pi}{2} \) macht die Bearbeitung der Aufgabe etwas kürzer.

Problem/Ansatz:

Hello! Kann mir jemand helfen, die Aufgabe zu lösen?

Comments

Zunächst musst Du wissen, ob Ihr nach dem Stsnd Eurer Vorlesung das Ergebnis aus Tabellen herauslesen sollt oder explizit berechnen.  Imletzteren Fall: Wie habt Ihr denn die Fourier-Transformierte definiert?

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Text erkannt:

Fourier-Transformierte von \( f(t) \) :
\( F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)](\omega)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} t \)
- Rücktransformation:
\( f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \mathrm{e}^{+\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} \omega=\frac{1}{2 \pi} \mathcal{F}[F(\omega)](-t) \)
- Folgerung:
\( \mathcal{F}[F(\omega)](t)=2 \pi f(-t), \)
d.h.
\( \mathcal{F}[\mathcal{F}[f(t)](\omega)](t)=2 \pi f(-t) . \)

Im Skript steht diese Definition. Ich war leider nicht anwesend. Ich gehe allerdings davon aus, dass die Berechnung notwendig ist :)

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Dann sollst Du wohl das angegebene Intgral berechnen, wobei Du für f das gegebene f_2 einsetzt. Die Rechteckfunktion bewirkt, dass Du nur von -0.5 bis 0.5 integrieren brauchst. Für die Integralberechnumg würde ich die komplexe Darstellung des cos benutzen.