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Wie löse ich folgendes Integral?
$$ \int \limits_{e^{-1}}^{e} \frac{|logx|}{x} $$
Komme mit dem Betrag nicht zu recht...

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Die Aufgabe ist unvollständig kopiert. Die untere Grenze ist nicht zu erkennen.

Imübrigen hat der log seine einzige Nullstelke bei x=1.

Es fehlt auch das dx, dy oder was auch immer. Das hat auch Auswirkungen auf eventuelle Schwierigkeiten beim Integrieren.

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Aloha :)

Für \(x<1\) ist \(\ln(x)<0\). Damit können wir das Integral so aufteilen, dass die Betragsstriche wegfallen:$$I=\int\limits_{1/e}^e\frac{|\ln x|}{x}\,dx=\int\limits_{1/e}^1\frac{|\ln x|}{x}\,dx+\int\limits_{1}^e\frac{|\ln x|}{x}\,dx=\int\limits_{1/e}^1\frac{-\ln x}{x}\,dx+\int\limits_{1}^e\frac{\ln x}{x}\,dx$$$$\phantom I=-\int\limits_{1/e}^1\frac1x\ln x\,dx+\int\limits_1^e\frac1x\ln x\,dx$$

Die beiden Integrale sind ein Standardintegral der Form$$\int f'(x)\cdot f(x)\,dx=\frac12f^2(x)+\text{const}$$mit \(f(x)=\ln(x)\). Daher können wir sofort hinschreiben:$$I=\left[-\frac12\ln^2(x)\right]_{1/e}^1+\left[\frac12\ln^2(x)\right]_1^e=\frac12\ln^2\left(\frac1e\right)+\frac12\ln^2(e)=\frac12+\frac12=1$$

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\( \int \limits_{e^{-1}}^{e} \frac{|logx|}{x}=  \int \limits_{e^{-1}}^{1} \frac{-logx}{x} + \int \limits_{1}^{e} \frac{logx}{x} \)

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