Auf ℤ definieren wir die Verknüpfungen: ℤ×ℤ→ℤ, a + ̃b :=a+b−1 ℤ×ℤ→ℤ, a · ̃b :=a+b−a·b

Question

Aufgabe:

Auf ℤ definieren wir die Verknüpfungen:

ℤ×ℤ→ℤ, a + ̃b :=a+b−1
ℤ×ℤ→ℤ, a · ̃b  :=a+b−a·b

+ und · sind als gewöhnliche Addition im Raum der ganzen bzw. rationalen Zahlen zu verstehen. Die Verknüpfungen + ̃ , ̃· werden auf Q analog definiert. Zeigen Sie:

(a) (ℤ, + ̃ , ̃·) ist ein Integritätsring.

(b) (ℤ, + ̃ , ̃·) ist kein Körper.
(c) (ℚ, + ̃ , ̃·) ist ein Körper.

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier voran?

Answer 1

(ℤ, + ̃ , ̃·) ist ein Integritätsring.

Alle Axiome prüfen. Abgeschlossenheit ist wohl klar.

Assoziativität von + ̃ etwa so;

(a + ̃ b)  + ̃ c = (a+b-1)  + ̃ c =( a+b-1 )+ c -1

           = a+(  b-1 + c)  -1

            = a+(  b+ c-1)  -1

            = a+ (b+ ̃c) -1 =a + ̃ (b + ̃ c) ist also erfüllt. etc.