Ist k! kleiner gleich n^k?

Question

Hallo, eine kurze Frage: ist es korrekt, dass k! kleiner gleich n^k ist?

Bzw umgeformt n^k/k! größer gleich 1 ist?

Ich sehe Parallelen zur Exponentialreihe, aber verstehe noch nicht ganz den Zusammenhang und wie man die Ungleichung beweisen kann.

Answer 1

Die Parallele zur Exponentialreihe hast du gut gesehen. Es gilt

$$e^n = \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}$$

Diese Reihe konvergiert. Damit ist

$$\lim_{k\to\infty}\frac{n^k}{k!} = 0$$

Comments

alles klar, danke!

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Es gilt dann allerdings:

$$\frac{n^k}{k!} = 0 \newline \frac{n^k}{k!} < 1 \newline n^k < k!$$

Answer 2

Du machst keine Angaben über \(k\) oder \(n\) und im Gegensatz zu "trancelocation" sehe ich hier auch keinen Grenzwert.

$$ {5^2\over 2!} = {25\over2} > 1 $$

$$ {2^5\over 5!} = {32\over120} < 1 $$