Summe mit Binomialkoeffizienten

Question

Aufgabe:

n,k ∈ℕ₀ mit k≤n

∑^km=0 (n über m)*(n-m über k-m)= (n über k)*2^k

Problem/Ansatz:

Ich habe es versucht mit vollständiger Induktion, doch ich habe es nach mehrfachen versuchen einfach nicht hingekriegt. Gibt es noch einen einfacheren Lösungsweg?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Wenn Du schon weißt, dass \(\sum\limits_{m=0}^k\binom{k}m =2^k\) ist, geht es einfacher ohne Induktion.

Schreibe \(\binom{n}m\binom{n-m}{k-m}\) aus, kürze und klammere \(\binom{n}k\) aus.

Comments

Vielleicht besser \(\binom{n}k\) ausklammern.

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Ist korrigiert, danke.

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Nur zur Kontrolle:

[spoiler]

$$\binom{n}{m} \cdot \binom{n - m}{k - m} = \binom{n}{k} \cdot \binom{k}{m}$$

[/spoiler]