Bestimmen Sie D_h und J_h in allen Punkten aus (0, +∞) × ℝ^2 [Funktionen mehrerer veränderlicher]

Question

Wir betrachten ℎ ∶ (0, +∝) × ℝ² → ℝ³ ∖ {0} mit h(r, φ, ϑ) ∶= (r cos φ sin ϑ, r sin φ sin ϑ, r cos ϑ), (r, φ, ϑ) ∈ (0, +∝)×ℝ² 
Bestimmen Sie D_h und J_h in allen Punkten aus (0, +∝) × ℝ².

Hat einer nh Ahnung was ich hier machen muss? Das Thema ist neu und war leider krank. So wie ich das jetzt bisschen verstanden habe muss ich für D_h eine Matrix machen und zwar wie folgt oder?
\( \begin{pmatrix} \frac{d}{dr}(r cos(φ)sin(ϑ)) & \frac{d}{dφ}(r cos(φ)sin(ϑ)) & \frac{d}{dϑ}(r cos(φ)sin(ϑ))\\ \frac{d}{dr}(r sin(φ)sin(ϑ)) & \frac{d}{dφ}(r sin(φ)sin(ϑ)) & ... \\ ... & ... & ...\end{pmatrix} \)
Und für J_h (Jacobideterminante) dann die Determinante von D_h oder?

Answer 1

Aloha ;)

Ja, du liegst richtig, die Jacobi-Matrix enthält die Gradienten der Komponenten-Funktionen als Zeilenvektoren:$$J_h=\begin{pmatrix}\operatorname{grad} h_1(r;\varphi;\vartheta)\\\operatorname{grad} h_2(r;\varphi;\vartheta)\\\operatorname{grad} h_3(r;\varphi;\vartheta)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta & -r\sin\varphi\sin\vartheta & r\cos\varphi\cos\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta & r\cos\varphi\sin\vartheta & r\sin\varphi\cos\vartheta\\\cos\vartheta & 0 & -r\sin\vartheta\end{pmatrix}$$

Die Determinante ist dann:$$\small D_h=\left|\begin{array}{c} \cos\varphi\sin\vartheta & -\pink r\sin\varphi\pink{\sin\vartheta} & \green r\cos\varphi\cos\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta & \pink r\cos\varphi\pink{\sin\vartheta} & \green r\sin\varphi\cos\vartheta\\\cos\vartheta & 0 & -\green r\sin\vartheta \end{array}\right|=r^2\sin\vartheta\left|\begin{array}{c} \cos\varphi\sin\vartheta & -\sin\varphi & \cos\varphi\cos\vartheta\\\sin\varphi\sin\vartheta & \cos\varphi & \sin\varphi\cos\vartheta\\\cos\vartheta & 0 & -\sin\vartheta \end{array}\right|$$$$\small \phantom{D_h}=r^2\sin\vartheta\cdot\left[\cos^2\vartheta\left(-\sin^2\varphi-\cos^2\varphi\right)-\sin^2\vartheta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\right]=-r^2\sin\vartheta$$