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Gegeben sei eine stetig differenzierbare Funktion \( f \in C^{1}([a, b], \mathbb{R}) \) sowie Stützstellen \( t_{i}= \) \( a+i h, i=0, \ldots, n \), wobei \( h=(b-a) / n \).
(a) Konstruieren Sie eine Quadraturformel für \( \int \limits_{a}^{b} t(t) d t \) basierend auf der stückweise Hermite-Interpolierenden (d.h. pro Teilintervall \( \left[t_{i}, t_{i+1}\right] \) wird ein Polynom dritten Grades unter Vorgabe von \( f_{i}=f\left(t_{i}\right), f^{\prime}\left(t_{i}\right), f_{i+1}=f\left(t_{i+1}\right), f^{\prime}\left(t_{i+1}\right) \) bestimmt und integriert.)
Hinweis: Nutzen Sie zum Erstellen des Polynoms die dividierten Differenzen und vereinfachen Sie mit \( s_{i}:=f^{\prime}\left(t_{i}\right), s_{i+1}:=f^{\prime}\left(t_{i+1}\right) \) und \( m_{i}:=\frac{f_{i}-f_{i-1}}{h} \).
(b) Begründen Sie, warum wir das gleiche Ergebnis erhalten, wenn wir eine Quadraturformel für \( \int \limits_{a}^{b} t(t) d t \) basierend auf vollständiger kubischer Spline-Interpolation konstruieren.
Könnte mir jemand bei a) helfen und bei b) nur eine kurze Idee/Strichpunkt nennen. Das würde mir schon sehr viel weiterhelfen. LG und vielen Dank.
