Aufgabe:
Welche der folgenden Mengen ist ein Normalteiler der Gruppe \( G=\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \) ?
a) \( H=\{A \in G ; \operatorname{det}(A) \in \mathbb{Q}\} \),
b) \( \{\operatorname{diag}(a, b) ; a, b \in \mathbb{R}, a b \neq 0\} \).
Problem/Ansatz:
a)
Hier komme ich nicht wirklich weiter!
b)
Sei \( H=\{\operatorname{diag}(a, b) ; a, b \in \mathbb{R}, a b \neq 0\} \), dann ist \( g=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \) in \( G=\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \). Die Inverse von \( g \) ist \( g^{-1}= \) \( \left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \), was auch in \( G \) ist.
Wähle \( A=\left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right) \) aus \( H \), wobei \( a, b \in \mathbb{R} \) und \( a b \neq 0 \).
Für die Konjugation \( g A g^{-1}=\left(\begin{array}{ll}a & a \\ 0 & b\end{array}\right) \) gilt, dass \( g A g^{-1} \) nicht in der Form einer Diagonalmatrix \( \operatorname{diag}(x, y) \) liegt, wobei \( x, y \in \mathbb{R} \) und \( x y \neq 0 \). Daher ist \( g A g^{-1} \notin H \).
Somit ist die Menge keine Untergruppe von G und auch kein Normalteiler
