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\( \mathrm{f}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x})=\left(2 \mathrm{e}-\mathrm{e}^{\mathrm{a} \cdot \mathrm{x}}\right) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{a}^{\cdot} \mathrm{x}} ; \quad \mathrm{x} \in \mathrm{R} \quad \text { und } \mathrm{a} \in \mathrm{R}^{+} \)
1. Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen der Funktion.
2. Berechnen Sie die Wendepunkte und die Ortskurve.

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2. Berechnen Sie die Wendepunkte und die Ortskurve.

\(f_a(x)=(2e-e^{a·x}) \cdot e^{a·x}\\=2e\cdot e^{a·x}-e^{2ax}\)

\(f´_a(x)=2e \cdot a\cdot e^{a·x}-2a \cdot e^{2ax}\)

\(f´´_a(x)=2e \cdot a^{2}\cdot e^{a·x}-4a^2 \cdot e^{2ax}\)

\(2e \cdot a^{2}\cdot e^{a·x}-4a^2 \cdot e^{2ax}=0\)

\(e^{a·x}\cdot(2e \cdot a^{2}-4a^2 \cdot e^{ax})=0\)

\(e^{a·x}≠0\)

\(2e \cdot a^{2}-4a^2 \cdot e^{ax}=0 |:2a^2\)   mit \(a≠0\)

\(e -2 \cdot e^{ax}=0 \)

\(e^{ax}=\frac{1}{2} e\)

\(ax\cdot lne =ln(\frac{1}{2} e)=1-ln(2)\)    mit  \(ln(e)=1\)

\(x =\frac{1-ln(2)}{a}\)    \(f_a(\frac{1-ln(2)}{a})=(2e-e^{a·\frac{1-ln(2)}{a}}) \cdot e^{a·\frac{1-ln(2)}{a}}=(2e-e^{1-ln2}) \cdot e^{1-ln2}\) 

\(W(\frac{1-ln(2)}{\red{a}}| (2e-e^{1-ln2}) \cdot e^{1-ln2}\)

Ortskurve:

Da \(\red{a}\) nur abhängig von der x-Stelle des Wendepunktes ist,

haben wir  \(y= (2e-e^{1-ln2}) \cdot e^{1-ln2}\) als Ortskurve.

Unbenannt.JPG

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Für die Ableitung verwendet man ' und nicht ´: \(f'(x) \) vs \(f´(x) \).

Außerdem gibt es \ln: \(\ln\)

Schau doch bitte auch mal bei anderen Antwortenden, ob es da nicht auch Verbesserungsanregungen gibt. Meine Meinung dazu ist, dass Antworten gut lesbar sein sollten.

Die, die gar kein LaTeX nutzen, sind schlimmer, gar keine Frage.

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