Deine Vorgehensweise ist absolut korrekt.
Es gilt grundsätzlich:
Wenn \(a_n \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\) und \(|b_n| \leq c\) eine beschränkte Folge ist, dann gilt
\(a_nb_n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\).
Das zeigt man sehr ähnlich wie in deinem Fall, nur dass man mit Beträgen arbeitet:
\(0\leq |a_nb_n| \leq c|a_n| \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\)
