Interpolationsformel zur Bestimmung der Ableitung?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Question 1:
Consider the function \( f(x)=e^{x} \) and its Taylor series expansion around \( (x=0) \) up to the 4 th degree:
\( f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots \)
a) Using the divided difference method, compute the divided difference \( f^{\prime}(x) \) using \( [0, h, 2 h, 3 h] \) for \( (h=0.1) \). Show the step-by-step calculations.
b) Compare the computed value with the actual value. Discuss the accuracy of the divided difference approximation and explain any discrepancies.

Problem/Ansatz:

Hey, kann mir jemand erklären, wie ich hier die divided differene method benutzen kann, um die Ableitung zu ermitteln? Ich kenne die divided difference formula nur um das Newtoninterpolynom zu bestimmen, aber nicht für Ableitungen? Vielen Dank.

Answer 1

Es geht hier denke ich um die Approximation der Ableitung mit Hilfe des Differenzenquotienten:

\(f'(x_i)\approx \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}\).

Comments

Damit wird es was zu tun haben. Der Differenzenquotient auf der rechten Seite stellt ja die dividierten Differenzen in der ersten Spalte des Newton-Schemas dar (bei Stützstellen \(x_i\)).

Aus der Vorlesung, die wir nicht kennen, sollte hervorgehen, warum hier von "die div. Diff. f'(x)" geredet wird, denn f'(x) ist eben keine Differenz. Oder es ist ein Tippfehler oder eine unüberlegt formulierte Aufgabenstellung (auch nicht so selten).

Answer 2

Aloha :)

Die Ableitung einer Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) ist der Grenzwert der "divided differences":$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Wenn du darin \(\,x\coloneqq x_0+h\,\) setzt, kannst du den Grenzwert \(x\to x_0\) gegen einen Grenzwert \(h\to0\) ersetzen:$$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Die Ableitung sollst du nun näherungsweise mit sehr kleinen Werten für \(h\) berechnen:$$\pink{f'(x_0)\approx\frac{f(x_0+n\cdot h)-f(x_0)}{n\cdot h}}\quad;\quad h\ll1$$

wobei du folgende Ersetzungen vornehmen sollst:$$f(x)=e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}\quad;\quad h=0,1\quad;\quad n=0,1,2,3$$

Der Fall \(n=0\) ist natürlich Unsinn, da man ja nicht durch \(0\) dividieren kann.

Comments

Aber wieso sind mehrere Werte für h angegeben? Ich bin nicht ganz sicher wie die Lösung am Ende aussehen soll?

---

Du sollst verschiedene Werte für \(h\) einsetzen, damit du erkennst, wie sich die Genauigkeit ändert.

---

Nein, \(h\) ist fix. Ich gehe auch davon aus, dass es hier darum geht, den Differenzenquotienten zwischen verschiedenen Punkten zu berechnen und nicht mit einem festen Anfangspunkt \(x_0\).

---

Ich verstehe die Aufgabe so, dass du mehrere Schrittweiten für \(h\) einsetzen sollst:$$h_n=n\cdot h\quad;\quad h=0,1\quad;\quad n=0,1,2,3$$Deswegen habe ich das \(h\) in der Formel durch \(n\cdot h\) ersetzt.

Ich habe leider keine andere Interpretation der Aufgabenstellung für dich, dafür müsste ich den Sinnzusammenhang aus deiner Vorlesung kennen.

---

Der pinke Differenzenquotient ist keine dividierte Differenz, mit dem hat das ganze weniger zu tun (auch wenn sonst einiges unklar ist).

---

Ich dachte, im Zähler steht eine Differenz und im Nenner steht eine Differenz. Also werden Differenzen dividiert. Wenn du mehr weißt, erleuchte mich bitte ;)

Ich habe mich eh gewundert, weil man Ableitungen numerisch eigentlich immer mittels $$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2)$$berechnet anstatt mit$$f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+O(h)$$

---

Such halt im Internet nach "dividierte Differenzen".

"eigentlich immer" stimmt so auch nicht. Gibt auch Gründe einseitige Differenzenformeln zu verwenden.