Die Summe ist auch ein Untervektorraum von V?

Question

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11.1 Zeigen Sie Satz 2.1.8 (1) aus der Vorlesung: Sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( U_{i} \leq V \) für alle \( i \in I \). Dann ist \( \sum \limits_{i \in I} U_{i} \) ein Untervektorraum von \( V \).
(3 Punkte)

Bei dieser Aufgabe kann ich für den Beweis doch bestimmt das Untervektorraum-Kriterium verwenden oder? D.h. ich muss zeigen, dass 1. der Nullvektor in der Summe enthalten ist 2. Dass die Summe unter der Addition abgeschlossen ist und 3. Das die Summe unter der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist?

Wie kann ich dies aber mathematisch korrekt (auch mit Summenzeichen) aufschreiben?

Answer 1

1. Da \(  Ui \le V  \text{für alle }   i \in I \)  gilt, hat man für alle i∈I jedenfalls 0∈U_i .

==>  \( 0 = \sum \limits_{i \in I} 0   \in  \sum \limits_{i \in I} U_{i} \).

Dass die Summe unter der Addition abgeschlossen ist:

Seien   \(   x, y   \in \sum \limits_{i \in I} U_{i} \)   .

==>      \( \forall i \in I \exists a_i \in  U_{i}                x =   \sum \limits_{i \in I} a_{i} \)

und analog    \(   y =  \sum \limits_{i \in I} b_{i} \)

Dann gilt    \(  x+y =  \sum \limits_{i \in I} a_i + b_{i} \).

Und weil alle U_i Unterräume sind , sind die Summen \(   a_i + b_{i} \in U_i \),

also   \(  x+y   \in \sum \limits_{i \in I} U_{i} \)  .

Dass die Summe unter der Skalarmultiplikation abgeschlossen ist geht ähnlich.