Zeigen Sie , dass fur alle x ∈ (0, 1) folgendes gilt: x log2(x) + (1 − x) log2(1 − x) ≥ −1

Question

Aufgabe: Zeigen Sie , dass fur alle x ∈ (0, 1) folgendes gilt:
x log₂(x) + (1 − x) log₂(1 − x) ≥ −1.

Answer 1

x log₂(x) + (1 − x) log₂(1 − x) ≥ −1

<=> \(    x^x \cdot (1-x)^{1-x} \ge \frac{1}{2} \)

Und die auf (0, 1) definierte Funktion f mit \( f(x)=   x^x \cdot (1-x)^{1-x} \)

hat den absoluten Tiefpunkt \(  T=( \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} ) \).

Letzteres lässt sich mittels Ableitungen zeigen.

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Zur Kontrolle der aufwändigen Ableitung:

https://www.ableitungsrechner.net/