Differenzierbarkeit Tangens zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass tan : \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar ist mit \( \tan ^{\prime}(x)=1+\tan ^{2}(x) \) für alle \( \quad x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \).

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz:

\( \begin{aligned} \tan (x) & =\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \\ f^{\prime}\left(x_{0}\right) & =\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \\ & =\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}-\left(\frac{\sin \left(x_{0}\right)}{\cos \left(x_{0}\right)}\right)}{x-x_{0}} \\ & =\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\frac{\sin (x) \cos \left(x_{0}\right)}{\cos (x) \cos \left(x_{0}\right)}-\frac{\sin \left(x_{0}\right) \cos (x)}{\cos (x) \cos \left(x_{0}\right)}}{x-x_{0}} \\ & =\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\frac{\sin (x) \cos \left(x_{0}\right)-\sin \left(x_{0}\right) \cos (x)}{\cos (x) \cos \left(x_{0}\right)}}{x-x_{0}} \\ & =\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\frac{\sin (x) \cos \left(-x_{0}\right)+\sin \left(-x_{0}\right) \cos (x)}{\cos (x) \cos \left(x_{0}\right)}}{x-x_{0}} \\ & =\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\frac{\sin \left(x-x_{0}\right)}{\cos (x) \cos \left(x_{0}\right)}}{x-x_{0}}\end{aligned} \)

Nun komme ich nicht mehr weiter. Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank und LG

Comments

Du kannst doch für \( \tan (x)  =\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \)

die Quotientenregel benutzen !

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Zu meiner Zeit haben wir in Klasse 12 noch gelernt und bewiesen, dass\( \lim\limits_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1 \) gilt.

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Du kannst die Ableitung auch als Grenzwert von \( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \) für h→0 berechnen. Das geht leichter als mit x -x₀.

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Achso, ich habe die Aufgabe so verstanden, als müssten wir die Differenzierbarkeit im Allgemeinen mit x₀ zeigen, und dann kommt die Ableitung ja automatisch raus. Ich machs dann einfach mit der Quotientenregel, wenn wir nur ableiten sollen (und dass dann ja zeigt, dass die Funktion differenzierbar ist)

Answer 1

Aloha :)

Wenn du eine Funktion mit den bekannten Regeln der Differenitalabrechnung ableiten kannst, hast du sie ja differenziert und dadurch gezeigt, dass sie differenzierbar ist.

Für \(x\in(-\frac\pi2;+\frac\pi2)\) ist \(\tan x\) definiert und es gilt:

$$\tan'x=\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\cdot\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}$$$$\phantom{\tan'(x)}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$

Die Ableitung \(\tan'(x)\) ist ebenfalls für alle \(x\in(-\frac\pi2;+\frac\pi2)\) definiert.