Injektiv und oder surjektiv

Question

f: ℝ^2 –> ℝ^2 

(x,y) ↦ (7x+1, x^2 -y)

Ist diese Funktion injektiv und surjektiv.

Ich habe herausgefunden, dass die Funktion injektiv ist aber bei surjektiv weiß ich nicht wie ich das berechnen und zeigen soll

Comments

Surjektiv heißt: Zu allen reellen v,w gibt es x,y mit

$$7x+1=v \text{  und }x^2-y=v$$

Versuch doch mal, ob Du das mit Standard-Techniken lösen kannst.

---

Muss das beides v sein oder einmal w

---

Oh je schwerer Schreibfehler, Entschuldigung. Eins muss v sein und eins muss w sein.

---

Das war nicht böse gemeint. War mir nicht sicher

---

Ich bekomme keine Lösung heraus, die man lösen kann

Answer 1

Man kann die erste Gleichung auflösen:

$$7x+1=v \Rightarrow x=(v-1)/7$$

Dann kann man x in die zweite Gleichung einsetzen und auflösen:

$$x^2-y=w \Rightarrow ((v-1)/7)^2-y=w \Rightarrow y=((v-1)/7)^2-w$$

Wir machen die Probe:

$$f\left(7\frac{v-1}{7}+1,(\frac{v-1}{7})^2-[(\frac{v-1}{7})^2-w]\right)=(v,w)$$

Comments

In der letzten Zeile wird \(f\) nochmals auf \(f(x,y)\) angewendet. Da passt etwas nicht.

---

f wird auf x=(v-1)/7 und y=((v-1)/7)^2-w angewendet?

---

Du schreibst aber mit \( x = \frac{v-1}{7}, y = (\frac{v-1}{7})^2 - w\)

$$ f \left(7\frac{v-1}{7}+1,(\frac{v-1}{7})^2-[(\frac{v-1}{7})^2-w]\right) = f(f(x,y)) $$

da sollte doch eher

\( f(x,y) = (7\frac{v-1}{7}+1,(\frac{v-1}{7})^2-[(\frac{v-1}{7})^2-w]) = (v,w)\) stehen.

Warum sollte oben \(f(f(x,y)) = (v,w)\) sein?

---

Ach je, jetzt sehe ich es auch, Ich ändere das mal. Danke.