Drei Punkte auf Kugel

Question

Aufgabe:

x₁² + x₂² + x₃² + 2x₁ - 4x₂ - 10x₃ - 139 = 0

Geben Sie drei Punkte an, deren Koordinaten die Kugelgleichung erfüllen.

Problem/Ansatz:

Wie lautet der Rechenweg?

Answer 1

Quadratisch ergänzen zu (x+1)²+(y-2)²+(z-5)²=169.

Da 3²+4²+12²=169 ist, suche Punkte, die vom Mittelpunkt M(-1|2|5) in je einer Koordinatenrichtung den Abstand 3 bzw 4 bzw 12 haben

(oder in eine Richtung den Abstand 13).

Answer 2

Setze x₁ = 0 und x₂ = 0 und rechne die beiden dazugehörigen x₃ aus.

Finde einen dritten Punkt.

Answer 3

Es gibt 3 Koordinaten. Du kannst also zwei davon beliebig auswählen und einsetzen. Die dritte kannst du dann durch das Lösen einer quadratischen Gleichung ermitteln. Das geht mit der pq-Formel. Nutze für die zwei beliebigen Koordinaten einfache Zahlen wie 0 und/oder 1. Das macht das Berechnen beim Einsetzen leichter.

Answer 4

Zu \(x_2=14\) gibt es fünf positive ganzzahlige Lösungen, bei denen die anderen beiden Variablen Werte kleiner als 10 annehmen.

\(x_1^2+196+x_3^2+2x_1-56-10x_3-139=0\)

\(x_1^2+x_3^2+2x_1-10x_3+1=0\)

:-)

Oder so:

x²+y²+z²+2x-4y-10z-139=0

x²+2x+1 + y²-4y+4 + z²-10z+25 =169

(x+1)² + (y-2)² + (z-5)² = 13²

x=-1; y=2 → (z-5)²=13² → z=-8 oder z=18

usw.

:-)

Comments

Wolframalpha meint es gibt 78 ganzzahlige Lösungen. Davon etliche mit kleinen schönen Lösungen:

\( \begin{array}{l}x=-6, \quad y=2, \quad z=-7 \\ x=-5, \quad y=-1, \quad z=-7 \\ x=-5, \quad y=5, \quad z=-7 \\ x=-4, \quad y=-2, \quad z=-7 \\ x=-4, \quad y=6, \quad z=-7 \\ x=-1, \quad y=-3, \quad z=-7 \\ x=-1, \quad y=2, \quad z=-8 \\ x=-1, \quad y=7, \quad z=-7 \\ x=2, \quad y=-2, \quad z=-7 \\ x=2, \quad y=6, \quad z=-7 \\ x=3, \quad y=-1, \quad z=-7 \\ x=3, \quad y=5, \quad z=-7 \\ x=4, \quad y=2, \quad z=-7\end{array} \)