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Aufgabe:

x12 + x22 + x32 + 2x1 - 4x2 - 10x3 - 139 = 0

Geben Sie drei Punkte an, deren Koordinaten die Kugelgleichung erfüllen.


Problem/Ansatz:

Wie lautet der Rechenweg?

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4 Antworten

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Quadratisch ergänzen zu (x+1)²+(y-2)²+(z-5)²=169.

Da 3²+4²+12²=169 ist, suche Punkte, die vom Mittelpunkt M(-1|2|5) in je einer Koordinatenrichtung den Abstand 3 bzw 4 bzw 12 haben

(oder in eine Richtung den Abstand 13).

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Setze x1 = 0 und x2 = 0 und rechne die beiden dazugehörigen x3 aus.

Finde einen dritten Punkt.

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Es gibt 3 Koordinaten. Du kannst also zwei davon beliebig auswählen und einsetzen. Die dritte kannst du dann durch das Lösen einer quadratischen Gleichung ermitteln. Das geht mit der pq-Formel. Nutze für die zwei beliebigen Koordinaten einfache Zahlen wie 0 und/oder 1. Das macht das Berechnen beim Einsetzen leichter.

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Zu \(x_2=14\) gibt es fünf positive ganzzahlige Lösungen, bei denen die anderen beiden Variablen Werte kleiner als 10 annehmen.

\(x_1^2+196+x_3^2+2x_1-56-10x_3-139=0\)

\(x_1^2+x_3^2+2x_1-10x_3+1=0\)

:-)

Oder so:

x²+y²+z²+2x-4y-10z-139=0

x²+2x+1 + y²-4y+4 + z²-10z+25 =169

(x+1)² + (y-2)² + (z-5)² = 13²

x=-1; y=2 → (z-5)²=13² → z=-8 oder z=18

usw.


:-)

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Wolframalpha meint es gibt 78 ganzzahlige Lösungen. Davon etliche mit kleinen schönen Lösungen:

\( \begin{array}{l}x=-6, \quad y=2, \quad z=-7 \\ x=-5, \quad y=-1, \quad z=-7 \\ x=-5, \quad y=5, \quad z=-7 \\ x=-4, \quad y=-2, \quad z=-7 \\ x=-4, \quad y=6, \quad z=-7 \\ x=-1, \quad y=-3, \quad z=-7 \\ x=-1, \quad y=2, \quad z=-8 \\ x=-1, \quad y=7, \quad z=-7 \\ x=2, \quad y=-2, \quad z=-7 \\ x=2, \quad y=6, \quad z=-7 \\ x=3, \quad y=-1, \quad z=-7 \\ x=3, \quad y=5, \quad z=-7 \\ x=4, \quad y=2, \quad z=-7\end{array} \)

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