Zeigen Sie: Es exisitert genau ein Polynom p ∈ P3 mit p(xi) = f(xi) und p'(xi) = f'(xi), mit i = 0,1.

Question

Aufgabe:

Sei x₀ < x₁ und f ∈ C⁴ ([x₀,x₁]) mit x₁ > x₀.

a) Zeigen Sie: Es exisitert genau ein Polynom p ∈ P³ mit p(x_i) = f(x_i) und p'(x_i) = f'(x_i), mit i = 0,1.

b) Dazu soll das Ganze für f(x) = cos x mit x₀ = -\( \frac{ π }{2} \) und x₁ = \( \frac{ π }{2} \) gelöst werden.

Problem/Ansatz:

Wäre nett, wenn mir das jemand erklärt oder einen Tipp geben könnte. Ich habe nämlich nicht wirklich eine Idee, wie ich hier vorgehen soll.

Comments

Ich habe mir zur b) gedacht, dass ich das mit dem Schema der dividierten Differenzen mache, aber da kam bei mir am Ende nur ein Polynom 2ten Grades raus und die Bedingungen haben auch nicht gestimmt.

Answer 1

p(xi) = f(xi) und p'(xi) = f'(xi)

Liefert dir 4 Bedingungen. Mache den Ansatz \( p(x) =ax^3+bx^2+cx+d \), stelle die 4 Gleichungen auf und löse das lineare Gleichungssystem bzw. untersuche die Lösbarkeit des LGS.

Berechne bei b) die Werte entsprechend. Hier brauchst du keine dividierten Differenzen sondern nur Schulmathematik.

Vergleiche deine bisherige Frage dazu: https://www.mathelounge.de/1065482/zeigen-sie-dass-es-genau-ein-polynom-p-p2-mit

Comments

Habe die b mal durchgerechnet und ich komme wieder auf ein Polynom mit Grad 2.

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Welches denn? Probe gemacht? Mit welchem Ergebnis?

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p(x) = \( \frac{1}{ π } \) x² - \( \frac{ π }{4} \)

f(x_i) = p(x_i) stimmt ja überein, aber die Bedingung f'(x_i) = p'(x_i) eben nicht.

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Ja, und? Gut, dass Du die Probe gemacht hast. Da es nicht stimmt, rechne nochmal. Stichwort "Schulmathematik" ("Steckbriefaufgabe", wenn Dir das lieber ist). Wenn Du den Fehler nicht findest, lad Deine Rechnung hoch.

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ax₀³ + bx₀² +cx₀ + d = f(x0)

ax₁³ + bx₁² +cx₁ +d = f(x1)

3ax₀² + 2bx₀ +c = f'(x0)

3ax₁² + 2bx₁ +c = f'(x1)

Das wären ja die vier Gleichungen, oder?

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Ja, im allgemeinen Fall, also für a).

Beachte, Du brauchst das LGS nicht zu lösen (für a)).

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Okay, das reicht dann als Bedingung, dass genau ein Polynom p ∈ P³ existiert?

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Was ist das "das" in "das reicht"? Lies die Aufgabe genau.

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Was muss ich denn mit dem LGS in a) machen?

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Mach Dir den Zusammenhang zwischen dem Polynom und dem LGS klar. In der Aufgabe steht: "Zeigen Sie, dass es genau ein Polynom gibt mit...". Mach Dir erstmal (gilt generell für Deine Fragen) die Aufgabenstellung klar, bevor Du was rechnest.

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Ich muss doch zeigen, dass es nicht 2 Polynome gibt, für die Bedingungen, sondern eben genau 1 oder nicht?

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Ja, eins und nicht mehr als eins.

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Ich hab leider immer noch keine Ahnung, wie ich das mit dem LGS zeigen kann.

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Siehe oben: Mach dir den ...

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Dann mach halt zuerst b). Lege uns dann eine saubere Lösung für b) vor, d.h. mit erläuterndem Text, und mit schulmath. Mitteln.

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Ich bin irgendwie etwas verwirrt vom Fragesteller.

@123vier was für ein Modul ist das, was du da ausrechnest, und welches Fach studierst du? Der Begriff \(C^4([x_0,x_1])\) lässt mich eigentlich darauf kommen, dass es um höhere Mathematik geht (also Strukturen verstehen, Beweise anfertigen etc.), andererseits ist hier das Problem, das LGS aufzustellen und zu lösen? Wo genau steckst du fest, und was möchtest du eigentlich haben?

Zur Reihenfolge der Aufgaben: Ich würde erst die a) machen, denn die liefert dir eine invertierbare Matrix (also auch eine "Lösungsmatrix" deines Problems), sodass du dein LGS in der b) durch Matrixmultiplikation lösen kannst.

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Anscheinend numerische Mathematik, in der Regel 3. FS. Da sollte man über die Lösbarkeit von LGSen allerdings Bescheid wissen.

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@joners Wenn Du den Dialog oben liest, siehst Du, dass wir genau diese Fragen/Anregungen schon mehrfach gegeben und erklärt haben, bisher ohne Erfolg. Daher die Idee "erstmal b)", weil es manchem mit konkreten Zahlen doch leichter fällt.

Answer 2

Die Funktion \(\mathrm{D}:P^3\to \mathbb{R}^4\) gegeben durch \(\mathrm{D}(p):=\begin{pmatrix}p(0)\\p(1)\\p'(0)\\p'(1)\end{pmatrix}\) ist eine lineare Abbildung von vierdimensionalen \(\mathbb{R}\)-Vektorräumen. Wenn du links für \(P^3\) die Basis \(\{1,x,x^2,x^3\}\) und rechts die kanonische Basis wählst, bekommst du sogar eine sehr einfach aussehende darstellende Matrix dafür. Welche Eigenschaft dieser linearen Abbildung würde korrespondieren zu der obigen Aufgabe bzgl. \(C^4([0,1])\)? Wieso reicht es, dass ich diese Vereinfachung gemacht habe, dass wir uns nur \(C^4([0,1])\) angucken?

Comments

Spoiler: In der oben vorgeschlagenen Basis ist die darstellende Matrix von \(\mathrm{D}\) einfach nur:

\(\mathcal{M}_\mathrm{D}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&1&2&3\end{pmatrix}\). Es gilt durch einfaches ausrechnen, dass \(\det(\mathcal{M}_\mathrm{D})=-1\), die Abbildung ist also ein Vektorraumisomorphismus, d.h. jedes \(p\in P^3\) ist eindeutig bestimmt durch diese vier Werte in \(\mathrm{D}(p)\). Das sollte reichen, um den Beweis sauber zuende zu führen.