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Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Genau eine Lösung liegt vor, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix von Null verschieden ist:
$$D=\left|\begin{array}{rrr}\blue a & \blue 1 & \blue 2\\\pink1 & \pink{-1} & \pink1\\\green2 & \green{-1} & \green a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}\blue a-a\cdot\pink1 & \blue 1-a\cdot(\pink{-1}) & \blue 2-a\cdot\pink1\\\pink1 & (\pink{-1}) & \pink1\\\green2-2\cdot\pink1 & \green{-1}-2\cdot(\pink{-1}) & \green a -2\cdot\pink 1\end{array}\right|$$$$\phantom D=\left|\begin{array}{rrr}0 & a+1 & 2-a\\1 & -1 & 1\\0 & 1 & a-2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}\gray0 & a+1 & 2-a\\\gray1 & \gray{-1} & \gray1\\\gray0 & 1 & a-2\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrr}a+1 & 2-a\\1 & a-2\end{array}\right|$$$$\phantom D=-\left(\;(a+1)(a-2)-(2-a)\;\right)=-(a+1)(a-2)+(2-a)$$$$\phantom D=(-a-1)(a-2)-(a-2)=(-a-2)(a-2)$$$$\phantom D=-(a+2)(a-2)\stackrel{!}{\ne}0$$
Für \(a\ne\pm2\) hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.
1. Sonderfall: \(a=2\)
Für diesen Fall lösen wir das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus:$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline 2 & 1 & 2 & 1 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\1 & -1 & 1 & 0 &\\2 & -1 & 2 & -1 &-2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & 3 & 0 & 1 &\Rightarrow 3x_2=1\\1 & -1 & 1 & 0 &\\0 & 1 & 0 & -1 & \Rightarrow x_2=-1\end{array}$$Wir erkennen einen Widerspruch. Gemäß der 1-ten Gleichung muss \(x_2=\frac13\) gelten, gemäß der dritten Gleichung mss aber auch \(x_2=-1\) gelten.
Für \(a=2\) hat das Gleichungssystem keine Lösung.
2. Sonderfall: \(a=-2\)
Das Gleichungssystem sieht nun so aus:$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline -2 & 1 & 2 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & -1 & 1 & 0 &\\2 & -1 & -2 & -1 &-2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\1 & -1 & 1 & 0 & +\text{Zeile 3}\\0 & 1 & -4 & 1\\\hline0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\1 & 0 & -3 & -1 & \Rightarrow x_1-3x_3=-1\\0 & 1 & -4 & -1 &\Rightarrow x_2-4x_3=-1\end{array}$$
Da eine Gleichung wegällt, können wir eine Koordinate frei wählen. Konkret ist der Wert für \(x_3\) hier frei wählbar. Die beiden anderen Koordinaten sind dann aber festgelegt:$$x_1=-1+3x_3\quad;\quad x_2=-1+4x_3$$Die unendlich vielen Lösungen liegen auf einer Geraden:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+3x_3\\-1+4x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}$$
