Ist mein Lösung richtig ist, wenn nicht wie ist die richtige Lösung? und C könnte ich nicht lösen!

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind die folgenden Vektoren des \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{5} \in\left(\mathbb{Z}_{2}\right)^{4} \) :
\( \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)
a) Die Vektoren können ein Erzeugendensystem des \( \left(\mathbb{Z}_{2}\right)^{4} \) bilden. Ist das richtig? Begründen Sie Ihre Antwort so genau wie in Aufgabe 4.
b) Aus den gegebenen Vektoren soll eine Basis des \( \left(\mathbb{Z}_{2}\right)^{4} \) gebildet werden. Erzeugen Sie die gesuchte Basis und begründen Sie Ihr Vorgehen.
c) Welche Dimension hat \( L H\left(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{5}\right) \) ?

…

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(a) ein erzeugendensystem de \( S\left(z_{2}\right)^{4} \) muss eine Basis enthalt en wegen \( \operatorname{dim}\left(\mathbb{z}_{2}\right)^{4}=4 \)
muss aine Basis vektoren enthalten
dahier 5 Vektoren Vorliegen, Können sie eine Basis bilden und somit ist Eerzegendensystem.
(b) da bei 4 vektoren davon nur nur eine Komponeht tines ist and diese jeweils in einer anderen komponente steht als bei die anderen vekturen. Sind clie vier Vektoren linear unabhängilg
wegen \( \operatorname{dim}\left(\mathrm{z}_{2}\right)^{4}=4 \) muss eine Basis linear unabhängige vektoren enthalten, Die 4 weiteren benötigten vektoren Können chi folgenden \( \operatorname{sein}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \) diese Vektoren sind untereinanderen
\( 3\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \) and Von den gegebenen linear der Komponenten nach dem gleichen prinzip wie oben gewältwurden

…

Answer 1

a) Sie bilden ein Erzeugendensystem; denn es gilt für alle a,b,c,d ∈ℤ₂ :

\( \left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ d \end{array}\right)=b \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+a \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+d \left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+0 \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)

Also kann man jeden aus \( \left(\mathbb{Z}_{2}\right)^{4} \) als

Linearkombination von \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{5}  \) darstellen.

b) Wenn man v₄ weglässt, bilden die restlichen eine Basis; denn offenbar ist es dann

immer noch ein Erzeugendensystem und der Nullvektor ist nur darstellbar, wenn

man alle Faktoren = 0 wählt.

c) Die Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis, also

hier \( \dim(L H\left(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{5}\right) ) = 4 \)