Ableitung an der Stelle 3 bestimmen. f(3x^2 - x + 1) = log_4 (5x^2 -4)→ f´ (3) = 2log_4 e

Question

f(3x^2 - x + 1) = log₄(5x² -4)    

 

→ f´ (3) = 2log₄e   <<<Lösung

Answer 1

$$ f(3x^2-x+1)=Log_4(5x^2-4) $$Implizite Differentiation:$$\frac{d}{dx}f(3x^2-x+1)=\frac{d}{dx}Log_4(5x^2-4)\\(6x-1) f'(3x^2-x+1)=\frac{10x}{(5x^2-4)Log(4)}\\f'(3x^2-x+1)=\frac{10x}{(5x^2-4)Log(4)(6x-1)}$$
Löse: $$3x^2-x+1=3\\x_1=1 \wedge x_2=-\frac{2}{3}$$zweite Lösung \(x_2=-\frac{2}{3}\) entfällt, da der Logarithmus in der Anfangsgleichung nicht für negative Werte definiert ist.
Einsetzen:\(x_1=1\)$$f'(3)=\frac{10}{(5-4)Log(4)(6-1)}=\frac{2}{Log(4)}$$

Comments

Gar nicht so schwer, wenn man weiß wie's geht, bzw. weiß was verwendet werden kann.  :)


(P.S.: Nicht identisch mit dem Fragesteller, sondern interessierter Leser)

---

@sigma

Ich komme auf ganz andere Ergebnisse.

Zur Lösung habe ich ersetzt

p = 3 * x^2 - x + 1
x = 1/6 ± √ ( 12 * p - 11 ) / 6

und erhalte dann

f ( p ) = log4 ( 5 * [ 1/6 ± √ ( 12 * p - 11 ) / 6 ]^2  - 4 )
1.Ableitung mit Hilfe eines Matheprogramms gebildet
( der Term ist zu lang um ihn hier anzuführen )

In der Aufgabenstellung hieß es
Ableitung an der Stelle x = 3 bestimmnen

Für ( x = 3 ) und ( p = 3 * x^2 - x + 1  )
p = 25
f ´( 25 ) = 0.035858
f ´( 25 ) = 0.031

Steckt irgendwo ein Fehler ?

mfg Georg

---

Sorry. Es sollte an der Stelle 3 heissen. Ich hatte da etwas viel Phantasie bei der Korrektur der ursprünglichen Überschrift " Wie komme ich auf die Lösung".

---

Bei mir kommt dann heraus
Für p = 3
f ´( 3 ) = -0.541
f ´( 3 ) = 1.443

In der Fragestellung wurde die Lösung schon angegeben
f´ (3) = 2log₄e = 1.443
Stimmt also schon einmal.

Lösung Sigma
f´ (3 ) = 2 / log(4) = 0.301 ???

Wäre vielleicht noch zu klären.

mfg Georg

---

Habe mich schon gewundert. Wenn du jetzt 3 einsetzt, georgborn, kommst du auf das gleiche Ergebnis wie ich. Auch bei dir fällt eine Lösung weg, Da das Argument des Logarithmus negativ wird. Beim Einsetzen in die rechte Seite hast du das Quadrat vergessen aufzuschreiben. Aber da sieht man wie wichtig es ist, das die korrekte und ausführliche Aufgabenstellung vom Fragesteller wiedergegeben wird.

bei mir ist log(x)=log_e(x)

---

- das Fehlen des Quadrats wurde korrigiert
- die Negativlösung entfällt
- dein Ergebnis ist auch korrekt.

Dann ist ja alles in Ordnung.

mfg Georg