unbeschränkte, stetige Funktion, uneigentliches Integral

Question

Hallo.

Ich gehe der Fragestellung nach, ob es eine Funktion
f:[0,∞)→[0,∞)

gibt, die folgende drei Eigenschaften Erfüllt:

Sie ist stetig, unbeschränkt und das uneigentliche Integral ∫f(t)dt in den Grenzen 0 bis ∞ existiert.


Meine Idee ist, dass bei einer auf dem gegebenen Intervall stetigen, unbeschränkten Funktion kein solches uneigentliches Integral existiert. Grob gezeigt:

Damit das uneigentliche Integral hier existieren kann, kann die Funktion für t→∞ nicht unbeschränkt sein und muss gegen 0 gehen.

Da des weiteren eine stetige Funktion auf jedem abgeschlossenen Intervall beschränkt ist, gibt es kein Intervall, auf dem f unbeschränkt ist.


Ist ein bisschen schwammig formluliert. Kennt ihr vielleicht ein Gegenbeispiel oder Überlegungen zu einer solchen Funktion?

Comments

Meine Nachfrage :

f:[0,∞)→[0,∞)

bedeutet das
Definitionsbereich [ 0 ; ∞ ]
Wertebereich [ 0 ; ∞ ]

mfg Georg

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Nein.

\([0,\infty)=\{x\in\mathbb{R}|x\geq 0\}\).

\([0,\infty]=\{x\in\mathbb{R}|x\geq 0\}\cup\{\infty\}\).

Hier sind Definitions- und Wertebereich \([0,\infty)\).

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Richtig, wie obiger kommentar es gesagt hat war es gemeint.

Ich habe heute morgen einen Ansatz entwickelt und ihn ausgebaut, ganz grob geht der so:

Meine Annahme, dass für die Existenz des uneigentlichen Integrales die Funktion im Unendlichen gegen Null gehen muss war falsch:

Man formluliere eine Funktion f:[0,∞)→[0,∞) , in der um jedes n∈ℕ ein Dreieck der Höhe n mit der Grundseite n/(2*n³) gezeichnet wird (z.B. über geeignete Geradengleichungen für bestimmte Wertebereiche), überall sonst sei die Funktion 0.

Wie leicht zu zeigen ist, ist die Funktion stetig in jedem Punkt und damit Riemann-Integrierbar, das Integral ist einfach die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke. Und diese Summe konvergiert bei den angegebenen Längenangaben.

Des weiteren ist die Funktion unbeschränkt, denn sei ein C∈ℝ gegeben, dann gibt es ein N∈ℕ, sodass für alle n>N gilt f(n)>C, was direkt aus der Funktionalgleichung folgt.

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Du meinst also so etwas?

Diese Funktion ist aber nicht Riemann-integrierbar auf \([0,\infty)\), d.h. \(\int_0^\infty \! f(x) \, dx\) existiert nicht. Oder?

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Mmh, ich glaube, es müsste doch uneigentlich integrierbar sein...