Ich denke bei B2 ist EZS relativ einfach.
Zu zeigen wäre doch p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 lässt sich als lin.Komb. der Basisvektoren schreiben.
B2={1,(1+x),(1+x+x2),(1+x+x2+x3)} = {b1, b2, b3 , b4}
p(x) =ab1 + b(b2 -b1) + c(b3 - b2) + d(b4 - b3)
=(a-b)b1 + (b-c)b2 + (c-d)b3 + d*b4
Gegebenenfalls noch modulo rechnen, ändert aber nichts an der Darstellbarkeit als Linkomb.
Jedes Polynom 3. Grades lässt sich als Linkomb dieser 4 Basisvektoren schreiben. Die Dim. des Vektorraums ist somit 4.
Nun folgt auch a)
Denn, wenn du die Unabhängigkeit gezeigt hast, liegen 4 linear unabhängige Vektoren vorliegen, bilden diese automatisch eine Basis dieses 4-dim Vektorraums.