0 Daumen
98 Aufrufe

ich soll zeigen, dass B1 und B2 Basen von V sind. Die lineare Unabhängigkeit habe ich schon gezeigt, aber ich weiß leider nicht, wie man zeigt, dass die erzeugendes System sind. Kann mir da bitte jemand helfen?

K=ℤ/5ℤ

V=span{P∈K[X] : deg P≤3}

a) B1={x3, (x3-3x2+3x-1), (x3-6x2+12x-8), (x3-9x2+27x-27)}

b) B2={1,(1+x),(1+x+x2),(1+x+x2+x3)}

 

Danke

Gefragt von

1 Antwort

0 Daumen

Ich denke bei B2 ist EZS relativ einfach.

Zu zeigen wäre doch p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 lässt sich als lin.Komb. der Basisvektoren schreiben.

B2={1,(1+x),(1+x+x2),(1+x+x2+x3)} = {b1, b2, b3 , b4}

p(x) =ab1 + b(b2 -b1) + c(b- b2) + d(b4 - b3)

       =(a-b)b1 + (b-c)b2 + (c-d)b3 + d*b4               

Gegebenenfalls noch modulo rechnen, ändert aber nichts an der Darstellbarkeit als Linkomb.

 

Jedes Polynom 3. Grades lässt sich als Linkomb dieser 4 Basisvektoren schreiben. Die Dim. des Vektorraums ist somit 4.

Nun folgt auch a)

Denn, wenn du die Unabhängigkeit gezeigt hast, liegen 4 linear unabhängige Vektoren vorliegen, bilden diese automatisch eine Basis dieses 4-dim Vektorraums.

Beantwortet von 141 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...