Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für die Funktion
\( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto\left\{\begin{array}{ll} \exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0, \end{array}\right. \)
folgende Aussagen gelten:
(a) Für alle \( n \geq 1 \) gibt es ein Polynom \( p_{n} \in \mathbb{R}[x] \), so dass für \( x \neq 0 \)
\( f^{(n)}(x)=\frac{p_{n}(x)}{x^{3 \cdot 2^{n-1}}} \cdot \exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) \)
gilt.
(b) Für alle \( k \in \mathbb{N} \) gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{k}}=0 \).
(c) \( f \) ist unendlich oft differenzierbar in \( x=0 \) mit \( f^{(n)}(0)=0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(d) Für die Taylorreihe um den Entwicklungspunkt 0 gilt \( T_{f, 0}=0 \).