Eine elegante Lösung finde ich leider auch nicht, aber folgende Argumentationskette scheint mir logisch:
Die Äquivalenzumformung von
-x2 ≤ x + 5 | + x2
nach
0 ≤ x2 + x + 5
ist offensichtlich korrekt.
Nehmen wir weiter an, es gäbe ein x ∈ ℝ, für das gilt
0 > x2 + x + 5
dann müsste es auch - da es keine Einschränkung des Definitionsbereichs gibt - ein x geben, für das gilt
0 = x2 + x + 5
Dass diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung hat, überprüfen wir einfach mit der
pq-Formel:
x1,2 = - 1/2 ± √(1/4 - 20/4) = - 1/2 ± √(-19/4)
Da der Radikant < 0 ist, gibt es also keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.
Sorry, etwas Besseres fällt mir dazu auch nicht ein.
Besten Gruß