0 Daumen
1,1k Aufrufe
Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, welche der folgenden Ungleichung genügen:

$$ -x²\quad \le \quad x+5 $$

 
Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

 

-x2 ≤ x + 5 | + x2

0 ≤ x2 + x + 5

Ich hätte jetzt versucht, die rechte Seite der Ungleichung in Faktorschreibweise zu bringen (Satz von Vieta oder Nullstellen bestimmen), aber das scheint nicht zu funktionieren:

 

Offensichtlich gilt die Ungleichung für alle x ∈ ℝ

 

Besten Gruß

Avatar von 32 k

−x² ≤ x+5

Die linke Seite ist ja eine Normalparabal nach unten geöffnet und die rechts Seite eine Gerade um 5 nach oben verschoben. Die Ungleichung sieht ja dann so aus:

Du hast ja geschrieben, dass offensichtlich die Ungleichung für alle x ∈ ℝ gilt. Heißt es also, egal welchen x-Wert ich nehme, die Geradengleichung liefert mir immer einen größeren y-Wert als die quadratische Gleichung? Nur wie rechne ich so was bzw. wie kann ich das zeigen, dass die Ungleichung für alle x ∈ ℝ gilt. Ich muss immer eine Lösung mit einem Rechenweg liefern.

Eine elegante Lösung finde ich leider auch nicht, aber folgende Argumentationskette scheint mir logisch:

Die Äquivalenzumformung von

-x2 ≤ x + 5 | + x2

nach

0 ≤ x2 + x + 5

ist offensichtlich korrekt.

Nehmen wir weiter an, es gäbe ein x ∈ ℝ, für das gilt

0 > x2 + x + 5

dann müsste es auch - da es keine Einschränkung des Definitionsbereichs gibt - ein x geben, für das gilt

0 = x2 + x + 5

Dass diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung hat, überprüfen wir einfach mit der

pq-Formel:

x1,2 = - 1/2 ± √(1/4 - 20/4) = - 1/2 ± √(-19/4)

Da der Radikant < 0 ist, gibt es also keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.

Sorry, etwas Besseres fällt mir dazu auch nicht ein.

 

Besten Gruß

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community