a) ist falsch.
Gegenbeispiel:
Der Punkt ( 4 | 14 ) liegt sowohl auf dem Graphen der Funktion
f ( x ) = 2 x + 6
als auch auf dem Graphen von
g ( x ) = 3 x + 2 .
Er liegt aber nicht auf dem Graphen von
( f + g ) ( x ) = 2 x + 6 + 3 x + 2 = 5 x + 8
denn 5 * 4 + 8 = 28 ≠ 14
b) ist auch falsch.
Gegenbeispiel (wie bei a) ) :
Der Punkt ( 4 | 14 ) liegt sowohl auf dem Graphen der Funktion
f ( x ) = 2 x + 6
als auch auf dem Graphen von
g ( x ) = 3 x + 2 .
Er liegt aber nicht auf dem Graphen von
( f * g ) ( x ) = ( 2 x + 6 ) * ( 3 x + 2 ) = 6 x 2 + 22 x + 12
denn 6 * 4 2 + 22 * 4 + 12 = 8 = 196 ≠ 14
Sowohl a) als auch b) können nur dann gelten, wenn der Punkt P ( xp | yp ) die zusätzliche Bedingung yp = 0 erfüllt, also auf der x-Achse liegt.
c) ist wahr.
Bestimmt man die Umkehrfunktion f ( x ) von g ( x ):
y = g ( x ) = n x + c
<=> y - c = n x
<=> x = ( y - c ) / n
Vertauschen der Variablen:
=> y = ( x - c ) / n = ( 1 / n ) * x - ( c / n ) = f ( x )
so sieht man, dass diese die Steigung 1 / n hat.
Das Produkt der Steigungen von g ( x ) und ihrer Umkehrfunktion f ( x ) ist also:
n * ( 1 / n ) = 1
Zwei Geraden verlaufen jedoch dann und nur dann orthogonal, wenn das Produkt ihrer Steigungen den Wert - 1 hat. Daher verlaufen f ( x ) und g ( x ) nicht orthogonal zueinander.
Aufgrund der allgemeingültigen Berechnung gilt dies für alle Funktionen f ( x ) und ihre Umkehrfunktionen g ( x ). Somit ist also die Aussage, dass es keine Funktion f der Form f ( x ) = m x + b gäbe, deren Graph mit dem Graphen ihrer Umkehrfunktion einen Winkel von 90 ° einschlösse, wahr.
d) ist falsch.
Für eine Funktion f ( x ) = m x + b und ihre Umkehrfunktion g ( x ) = n x + c gilt, wie unter c) gezeigt:
n = 1 / m
Damit f und g im Winkel von 45 ° zueinander verlaufen, muss außerdem gelten:
arctan ( m ) - arctan ( n ) = 45 °
Setzt man n = 1 / m ein, erhält man:
arctan ( m ) - arctan ( 1 / m ) = 45 °
Löst man nach m auf ( das kann z.B. ein geeigneter Rechner (etwa WolframAlpha) erledigen), so erhält man die beiden Lösungen:
m1 = 1 - √ 2
sowie
m2 = 1 + √ 2
Also:
Die Funktionen
f1 ( x ) = ( 1 - √ 2 ) x + b und ihre Umkehrfunktion g ( x ) = ( 1 / ( 1 - √ 2 ) x + b / ( 1 - √ 2 )
sowie
f2 ( x ) = ( 1 + √ 2 ) x + b und ihre Umkehrfunktion g ( x ) = ( 1 / ( 1 + √ 2 ) x + b / ( 1 + √ 2 )
mit beliebig gewähltem b verlaufen jeweils zueinander im Winkel von 45 ° .
Somit ist also die Aussage, dass es keine Funktion f der Form f ( x ) = m x + b gäbe, deren Graph mit dem Graphen ihrer Umkehrfunktion einen Winkel von 45 ° einschlösse, falsch. Tatsächlich gibt es eine solche Funktion (sogar zwei).
e) ist falsch
Sei die Funktion f ( x ) eine antiproportionale Funktion, dann hat sie die Form:
y = f ( x ) = p / x
Umkehrfunktion g ( x ) bestimmen:
<=> y * x = p
<=> x = p / y
Variablen vertauschen:
y = p / x = g ( x )
Man erkennt: g ( x ) ist eine antiproportionale Funktion.
Also: Wenn f ( x ) eine antiproportionale Funktion ist, dann ist auch die Umkehrfunktion g ( x ) eine antiproportinale Funktion ( und es gilt sogar: f ( x ) = g ( x ) ).