Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h

Question

Gegeben sind die Geraden 

ga: x= (2/7/3)+t*(4+2a/-1+5a/1+3a) mit a∈ℝ

und die Ebene E, die durch die Punkte P(1/0/2), Q(2/0/3), R (0/2/2) festgelegt wird.

Die Schnittpunkte Sa dieser Geraden mit der Ebene E bilden eine Gerade h.

a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h

b) Für welche Werte von a schneidet die Gerade ga die Ebene E nicht?

Eigene Idee:

Erstmal die Ebenengleichung aufstellen mithilfe der gegebenen Punkten:
 ox= (1/0/2) + t*(1/0/1)+s*(-1/2/0)

Comments

Nun kannst Du Gerade und Ebene gleichsetzen. Dazu musst Du eines der beiden t's umbenennen.

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Dann hätte ich 3 Variablen. Ist das richtig ?

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Eigentlich sind es vier...

Answer 1

Hi, wie schon gesagt gibt es drei Gleichungen mit vier Unbekannten.

$$ (1) \quad 1+s-t=2+4u+2ua $$
$$ (2) \quad 2t=7-u+5ua $$
$$ (3) \quad 2+s=3+u+3ua $$

Die Lösung des Gleichungssystems ist

$$ h(a)=\left(\begin{matrix} \frac{18a+2}{3a+5}\\\frac{7a-21}{3a+5}\\\frac{7}{3a+5} \end{matrix}\right) $$

Das ist die gesuchte Geradengleichung. Lösungen gibt es für alle \( a \ne -\frac{5}{3} \)

Comments

Hat man je so eine "Geradengleichung" gesehen ?

h :  x = [-3 , 0 , -2] + r·[1 , -14 , -6] 

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Wie kommst du auf die Losung des Gleichungssystem

? 

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Betrachte das Gleichungssystem für einen festen Parameter a. Dann hast Du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Das löst man nach den Variablen s,t und u auf. Dann bekommst Du die Lösung.

Allerdings habe ich mich da vertan, was ich hin geschrieben habe, ist nicht die gesuchte Geradengleichung. Sondern man muss z.B den Wert für u in die Geradengleichung oder die Werte für s und t in die Ebenengleichung einsetzten. Dann bekommt man die Schittpunkte der Geraden mit der Ebene.