Die Zahnpastamarken ADent, BDent und CDent beherrschen den Markt. Die Kunden
wechseln jedoch bei jedem Kauf die Marke, wie die folgende Tabelle angibt.
von A B C
nach
ADent 0% 30% 50%
BDent 60% 0% 50%
CDent 40% 70% 0%
a) Geben Sie die Übergangsmatrix P und eine stabile Verteilung für die Käuferanteile an
b) Anfangs benutzen die Kunden zu je ein Drittel die drei Marken. wie ist die Verteilung nach zehnmaligem Wechsel? Was ändert sich , wenn anfangs alle Kunden die Marke ADent verwenden?
P = [0, 0.3, 0.5; 0.6, 0, 0.5; 0.4, 0.7, 0]
P^∞
a = 65/227 ∧ b = 80/227 ∧ c = 82/227a = 28.63% ∧ b = 35.24% ∧ c = 36.12%
[0, 0.3, 0.5; 0.6, 0, 0.5; 0.4, 0.7, 0]^10·[1/3; 1/3; 1/3] = [0.2863; 0.3524; 0.3613]
[0, 0.3, 0.5; 0.6, 0, 0.5; 0.4, 0.7, 0]^10·[1; 0; 0] = [0.2851; 0.3526; 0.3623]
wie berechnet man P^10 und P^{-10} ?
P^2 = P * P
P^4 = P^2 * P^2
P^8 = P^4 * P^4
P^10 = P^8 * P^2
Leichter geht's aber mit dem Taschenrechner.
Für P^-1 muss man zunächst die Inverse von P bilden. Dann kann man hier genauso Potenzen bilden.
warum setzt man als fixvektor (1/3 ; 1/3 ; 1/3) ein?
Benutze: "Anfangs benutzen die Kunden zu je ein Drittel die drei Marken."
Die Stabile Verteilung rechne ich immer über
M * v = v
bzw.
(M - E) * v = 0
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